КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА:
ОТ НЬЮТОНА К ЛАГРАНЖУ

 

О.В.Беликов

 

 

Классическая механика Ньютона

 

“Школьные годы делают ньютонианцами всех людей на нашей планете” [1], – именно с этих слов начинает Л.С.Полак свое предисловие к книге И.Ньютона “Математические начала натуральной философии”. И действительно, современная классическая механика, преподаваемая в школах, носит название ньютоновой. По своему определению, современная классическая механика есть раздел физики, занимающийся изучением закономерностей механического движения макроскопических тел, совершающегося со скоростями, во много раз меньшими скорости света в вакууме [2]. Это определение содержит понятия, введенные после Ньютона. Так, например, фраза “скорости, во много раз меньшие скорости света в вакууме” взята из релятивистской механики, которая появилась гораздо позже ньютоновой. Тем не менее современная классическая механика содержит все те же три аксиомы Ньютона, определения пространства и времени, введенные им же, а также небезызвестный закон всемирного тяготения и многое другое, взятое из ньютоновской механики XVII в. Недаром спустя сотню лет Лагранж, создавая свое математическое описание механики, с величайшим сожалением говорит о том, что систему мира можно создать лишь единожды, и это уже сделано Ньютоном [3]. Гению Ньютона посвящается еще множество метафор, но подробнее остановимся на его работах.

Итак, классическая механика излагается Ньютоном в трех книгах под общим названием “Математические начала натуральной философии”. Первые две книги называются “О движении тел”, третья – “О системе мира”. Написание этих трудов занимает у Ньютона период с 1679 по 1687 г. Впервые Ньютон упоминает о том, что он работает над новым трудом, в 1684 г. при приезде Галлея в Кембридж. В то время Галлей занимался небесной механикой. Он пытался рассчитать траектории движения планет, но не смог преодолеть математические трудности и обратился к Ньютону с вопросом, какой должна быть орбита тела, движущегося вокруг центра притяжения под действием силы, обратно ли пропорциональна она квадрату расстояния. Ньютон сразу же дал ответ, что орбита эта – эллипс, и сказал, что ему уже с 1679 г. известно решение этой задачи. Именно с этого года и началась работа Ньютона над созданием “Начал”. Для Галлея и других ученых того времени такое известие явилось неожиданным. Многие полагали, что Ньютон занят оптическими исследованиями. Поэтому незадолго до поездки к Ньютону, в 1683 г., Галлей со своей проблемой обратился к Гуку, который утверждал, что им решена задача движения тела под действием силы притяжения. В то время Гук считался одним из выдающихся ученых в области движений планет. В 1674 г. вышла его книга под названием “Попытка объяснить движение Земли”, где он объясняет систему Вселенной исходя из трех своих законов [4]. Но Гук ни в письменном, ни в устном виде не предъявил Галлею решение задачи о движении тела под действием силы притяжения.

Как известно из истории науки, автор классической механики подходил к формулированию своих лемм (названых впоследствии законами) весьма строго. Будучи скрупулезным человеком, Ньютон переписывал свои статьи по пять-шесть раз, пока они полностью не удовлетворяли поставленным требованиям. И это привело к должному результату. В “Началах” даются новая по тем временам картина мира и математическое описание космоса. Эта новизна обусловлена, в частности, четким представлением о тяготении. До Ньютона наиболее известными объяснениями причины тяжести тел являлись учения Декарта и Гюйгенса. Декарт объяснял притяжение тел к Земле наличием небесного флюида, который, вращаясь вместе с Землей, создает давление, препятствующее удалению тел от поверхности. Гюйгенс же усматривал причину притяжения в существовании в сферическом пространстве жидкой материи, которая охватывает Землю. В отличие от этих теорий Ньютон ввел силу тяготения, которая определяется массами притягиваемых тел. Таким образом, отказавшись от вихревых теорий Декарта и Гюйгенса, он сохранил пространство неразрывным. И результатом введения такого представления явилось то, что ньютонова теория тяготения позволила решать задачи, непосильные для теорий тяготения Декарта и Гюйгенса.

В “Началах” задачи формулируются и решаются геометрическим методом. Пользуясь такими понятиями, как количество движения, сопротивление среды и длина пройденного пространства, Ньютон строит геометрические фигуры, откладывая данные величины в виде отрезков. Далее, заменяя неизвестные тогда операции интегрирования, автор “Начал” представляет время в виде площади получившейся фигуры и на основании своих геометрических построений формулирует вывод, что, например, если время равномерно возрастает, то скорость будет убывать в геометрической прогрессии [5]. Пользуясь такой терминологией, Ньютон формулирует и три своих известных закона, называя их леммами. Эта особенность сильно отличает его теорию от механики Лагранжа, в которой в основном присутствует математическое описание уже известных до него законов. Таким образом, классическая механика Ньютона по сравнению с аналитической механикой Лагранжа является более физичной теорией, ввиду того что в первой механические рассуждения присутствуют на протяжении всего изложения, а во второй – только вначале, при получении общего уравнения движения системы. Стиль изложения Ньютона сложен для современного восприятия, но для того времени, по мнению самого автора, это был наиболее простой способ решения механистических задач, что объясняется тогдашним состоянием математики. В современной же классической механике громоздкие геометрические рассуждения и построения заменены дифференциальным исчислением. Но в XVII в. не существовало понятия производной, а основным разделом математики считалась геометрия. Поэтому стиль написания “Начал” – это стиль изложения, характерный для того времени.

Сам Ньютон владел не только геометрическим методом. Он и Лейбниц разработали независимо друг от друга анализ бесконечно малых. Любопытно отметить, что оба этих ученых пришли к одним и тем же результатам, но по-разному. Лейбниц получил свой вариант анализа исходя из чисто абстрактных рассуждений. Ньютон же пользовался геометрией как способом физического исследования. Суть этого метода состоит в получении приближенного представления функции ее бесконечным рядом. Так, в 1669 г. автор классической механики получает приближенные представления таких функций, как y = ln (1+x) и y = arcsin (x) [6]. Предполагается также, что Ньютон владел методом вариаций произвольных постоянных эллиптического движения. Он проводил подобные рассуждения при построении теории движения Луны. Но фактически сам метод вариаций произвольных постоянных впервые появляется сто лет спустя, в механике Лагранжа.

Первым, кто донес труды Ньютона до его современников, был Вольтер. В 1732 г. в Европе выходят его труды под названием “Философские письма”, где он превозносит как самого Ньютона, так и ньютонианство. Вольтер пишет: “В Париже вы видите вселенную, наполненную круговыми вихрями из тончайшей материи, в Лондоне вы ничего этого не видите. У вас давление Луны вызывает приливы на море, у англичан море притягивается к Луне... У месье Ньютона все происходит благодаря притяжению, причина которого известна ничуть не лучше” [7]. Но судьба этой книги не была успешной. Судебная палата приговорила ее к сожжению как противную религии. Тем не менее уже в то время в Англии существовали ньютоновы дополнения к механике Декарта. А в 40‑х и 50‑х годах XVIII в. классическая механика Ньютона окончательно вытесняет вихревую теорию Декарта. И до появления аналитической механики Лагранжа – Эйлера господствовала механика Ньютона.

 

 

Аналитическая механика Лагранжа – Эйлера

 

Другим подходом к математическому описанию механического движения является аналитическая механика. Как известно, эта теория строится уже не на законах движения, а на сопоставлении каждой механической системе своей функции. При подстановке этой функции в общее уравнение задача сводится к математическому нахождению параметров, полностью описывающих механическое движение системы.

В отличие от Ньютона, который писал “Начала” около 10 лет, Лагранжу на завершение разработки аналитической механики, начатой Эйлером, понадобилось четверть века. Его книга под названием “Аналитическая механика” выходит в 1788 г. Предисловие ко второму изданию автор начинает с формулировки своей исследовательской программы: “Существует уже много трактатов о механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи” [8]. Таким образом, у Лагранжа была уверенность в том, что он получил общие формулы.

Аналитическая механика Лагранжа состоит из двух разделов – статики и динамики. Такое деление больше напоминает современную классическую механику, состоящую из трех разделов (статика, кинематика, динамика), нежели теорию Ньютона. Раздел статики Лагранж называет теорией равновесия, раздел динамики – теорией движения. В обоих этих разделах отдельно рассматриваются твердые и жидкие тела. Отличие механики Лагранжа от механики Ньютона, по мнению самого создателя аналитической теории, состоит в том, что его методы не требуют ни геометрических, ни механических рассуждений. Их основой являются алгебраические операции, подчиняющиеся планомерному и однообразному ходу. Как пишет сам Лагранж, “механика становится новой отраслью анализа. Своим путем я расширил область его применения” [9]. Таким образом, у создателя этой теории рождается новая механика, лишенная механических рассуждений. Формулируются общие методы для превращения задач механики в задачи математики, после чего решение становится чисто математической проблемой.

Как было сказано ранее, Лагранжу в отличие от Ньютона не принадлежит открытие всемирно известных законов. Его заслуга в том, что он объединил уже известные знания о механике и придал им новую математическую форму.

Наибольший вклад в создание и развитие основ аналитической механики на начальном этапе ее становления (фактически в рамках программы Лагранжа) внес Эйлер. Его работы начинают выходить в 1736 г. В механике Эйлера задачи решаются путем анализа бесконечно малых. В 1745–1746 гг. он аналитически получает таблицы возмущения Луны. Кроме того, Эйлер, стремясь к механическому объяснению сил тяготения, пытается разработать свою теорию гравитации. Но основание этой теории он заимствует у Декарта: Эйлер полагал, что сила тяжести обусловлена наличием вокруг Земли “тонкой материи”, а конкретно – эфира. Он полагал, что упругость эфира убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от Земли. Наличие же самого эфира приводит к действию гидростатического давления на тела, тем самым они прижимаются к Земле. Действие ослабевает с увеличением расстояния. Таким образом, Эйлер отрицает дальнодействие.

Эйлером получены также общее уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг точки (в современной механике это уравнение называется дифференциальным уравнением движения Ньютона), и уравнение для одномерных упругих систем. Эйлером, Клером и Даламбером были получены уравнения гидродинамики идеальной жидкости. Все перечисленное и послужило началом для создания собственно аналитической механики как целостной системы, опирающейся на идею близкодействия.

Лагранж обобщил аналитические представления механического движения, завершив построение аналитической механики на основе единого общего принципа. Этим принципом является принцип наименьшего действия. Суть его заключается в следующем: вариация действия равна нулю. Под действием понимается функция Лагранжа, проинтегрированная по времени. Таким образом, минимизируя функционал действия, Лагранж получает свое знаменитое уравнение

 

 

где L – функция Лагранжа.

По мнению Лагранжа, его теория является всей механикой. Но он ошибался. Так, в частности, уже в те времена в гидродинамике наблюдались противоречия. Например, при использовании уравнений аналитической механики для расчета движения сферы в среде не учитывается сопротивление со стороны среды на тело, что, вообще говоря, ошибочно. К тому же идеал Лагранжа относительно включения механики в математику оказался нереализуемым в достаточно полном объеме ввиду состояния математики того времени. Физики XVIII в. для построения своих теорий нуждались в создании некой приближенной математической модели для описания наблюдаемых явлений. Но математика того времени не могла создать эту модель. И даже более того, понятие математической модели было тогда чуждо науке, что свойственно метафизическому материализму XVIII в. Можно, однако, сделать вывод, что Лагранж понимал недостижимость сформулированного им идеала, о чем свидетельствует его высказывание по поводу того, что механика становится (а не стала) новой областью анализа.

Остановимся подробнее на разделах статики и динамики в механике Лагранжа. Итак, первое понятие, которое вводит автор в разделе статики, – это сила. В качестве силы Лагранж определяет любую причину, стремящуюся сообщить движение телам. Таким образом, здесь сила оценивается по количеству движения, которое она вызывает или стремится вызвать. Хотелось бы заметить, что создатель аналитической механики не воспользовался ньютоновским понятием силы, а дал свое. Забегая вперед, отметим, что Лагранж вообще в разных разделах своей механики силу определяет по-разному. В качестве единицы он предлагает выбрать некую известную силу, а остальные – описывать в этих единицах. Тем самым он пытается придать данной величине математическое значение. В этом же разделе Лагранж пользуется термином “количество движения”, но не объясняет его смысл.

Лагранжева статика строится на принципе виртуальных скоростей. Под ними автор понимает “скорости, которые тело в равновесном положении готово принять к моменту нарушения равновесия” [10]. Иными словами, это скорости, полученные в первое мгновение движения. Сам же принцип виртуальных скоростей сформулирован так: “Общий закон равновесия машин заключается в том, что силы относятся друг к другу обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться по направлению этих сил” [11]. Этот принцип напоминает общее уравнение динамики современной классической механики, математическая запись которого выглядит следующим образом: å(Fi–miai)dri = 0, где i = 1...n – номер тела (система состоит из n тел); F – сила, действующая на тело; m, a – его масса и ускорение. Также отметим, что в лагранжевой статике третий закон Ньютона формулируется в виде приравненной к нулю суммы виртуальных моментов.

Динамика Лагранжа начинается с формулировки ее основной задачи: “Мы будем рассматривать главным образом силы ускоряющие и замедляющие, действие которых, подобно действию силы тяжести, непрерывно и которые стремятся каждое мгновение сообщить бесконечно малую и одинаковую для всех частиц материи скорость” [12]. Таким образом, действие силы определяется ускорением. Здесь Лагранж не рассматривает направления скорости и ускорения и, следовательно, оперирует их проекциями, а задача сводится к рассмотрению общего случая прямолинейного движения. В этом разделе также отсутствуют понятия массы и ускорения, а есть только ускоряющая сила. Лагранж не вводит и понятия скорости. Только лишь при описании прямолинейного движения у него встречается термин “дифференциал пути”. Это можно объяснить тем, что, по мнению самого Лагранжа, “Аналитическая механика” – это не учебник, а научный трактат и поэтому нет необходимости вводить заново определения для скорости, массы и ускорения, данные Ньютоном в “Началах”. В подтверждение такой позиции Лагранжа приведем цитату из его книги “Аналитическая механика”: «...Примем слово “момент” в том смысле, какой ему придал Галилей» [13]. Это еще раз подчеркивает, что Лагранж пользуется уже введенной и общепринятой терминологией. Однако науке XVIII в. было свойственно отсутствие однозначной и четкой терминологии. Это проявляется и у Лагранжа. Так, например, он по-разному определяет силу: в одном случае это у него ускоряющая сила, в другом – импульс удара.

В динамике Лагранжа отсутствуют понятия материальной точки, а также системы отсчета и осей координат. Но это можно объяснить его философскими взглядами. Лагранж относился к числу последователей философии Гольбаха. По мнению же Гольбаха, “первичность и несотворимость материального мира, природы, существующей независимо от человеческого сознания, бесконечна во времени и пространстве. Материя есть совокупность всех существующих тел; ее простейшими, элементарными частицами являются неизменные и неделимые атомы, основные свойства которых – протяженность, вес, фигура, непроницаемость, движение. Материя и движение нераздельны. Составляя неотъемлемое, коренное свойство материи, ее атрибут, движение столь же несотворимо, неуничтожаемо и бесконечно, как и материя. ...Познание является отражением действительности; ощущения и понятия рассматриваются как образы предметов”[14]. И Лагранж намеренно не вводит понятия пространства и времени, а понятие материальной точки заменяет понятием тела.

В основу лагранжевой динамики положен принцип ускоряющих сил (в современном представлении это формула Даламбера – Лагранжа). Ускоряющие силы Лагранж определяет следующим образом: “m(d2x/dt2), m(d2y/dt2), m(d2z/dt2) – силы, примененные непосредственно для того, чтобы в течение времени dt двигать тело m параллельно осям координат х, у, z” [15]. Утверждая, что силы эквивалентны, и пользуясь принципом виртуальных скоростей, Лагранж заключает, что сумма первых моментов равняется сумме вторых. В этом и состоит принцип ускоряющих сил.

В своей механике Лагранж вскользь упоминает о существовании сил, движущих центры масс. Он отводит им второстепенное значение и математически их не описывает.

 

* * *

XVII–XVIII вв. рассматриваются в истории физики как период бурного развития классической механики. Наибольший вклад в этот прорыв внесли Ньютон и Лагранж, фактически завершившие создание механистической и аналитической теорий соответственно.

Механика Ньютона является первой строгой аксиоматической теорией, основу которой составляют фундаментальные понятия и принципы. Так, вводя понятие системы отсчета, Ньютон тем самым вводит понятия направленности движения, траектории. А в трех его аксиомах впервые проявляется связь движения с материей. Ньютон строит свою теорию, пользуясь методом индукции и отводя математике в известной мере вспомогательную роль, более интересуясь физической стороной явлений.

Идея построения механики на других постулатах принадлежит Эйлеру. В основу своей механики Эйлер положил принцип наименьшего действия. Его работу продолжил Лагранж, создав аналитическую механику. Но формально в механике Лагранжа остались те же самые основания, что и у Ньютона. Так, принцип наименьшего действия выводится из законов Ньютона путем интегрирования уравнения движения. Но создавая свою теорию, Эйлер и Лагранж не ставили цели конкурировать с ньютоновской механикой. Целью являлось усиление существующих механических знаний мощным аппаратом математического анализа и на этой основе – переход от задач механических к задачам математическим, при этом частные методы решения задач сводились к общим формулам. В отличие от ньютоновской в аналитической механике первостепенную роль играет математика. Введением дифференциального исчисления и вариационного анализа исключаются менее удобные и менее совершенные геометрические рассуждения.

В современном формализме аналитической механики присутствует чисто математическое понятие конфигурационного пространства. Это пространство состоит из обобщенных координат, их производных и времени (переменные, на которых строится функция Лагранжа). Таким образом, геометрическое понятие вектора, присутствующее в ньютоновой механике, здесь заменяется точкой конфигурационного пространства. Заменяя это пространство евклидовым, мы получим частный случай ньютоновой потенциальной системы.

Итак, выходом в свет работы “Аналитическая механика” завершилась стадия развития механики, ведущая от Ньютона к Лагранжу непосредственно через Эйлера. И после этого на долгие годы метод ускоряющих сил становится господствующим в механике. Неточность в терминологии, присущая всем трем перечисленным авторам механики, зачастую приводила к непониманию существующих законов в формулировках того времени. Но неоспоримое подтверждение теории практикой не оставляло ни у кого сомнения в верности изложенного. И примером тому служит закон всемирного тяготения. Период обращения планет, предсказанный Ньютоном, подтвердился экспериментально.

В заключение хотелось бы отметить, что Ньютон и Лагранж, мысля по-разному, создали на первый взгляд разные теории. Но на самом деле они создали лишь разные математические формализмы, описывающие одни и те же явления. И этими описаниями ученые пользуются и в настоящее время.

 

Примечания

 

1. Полак Л.С. [Предисловие] // Ньютон И. Математические начала натуральной философии: Пер. с лат. А.Н.Крылова. – М.: Наука, 1989. – С. 3.

2. См.: Яворский Б.М. Справочник по физике. – М.: Наука, 1985.

3. См.: Ахундов М.Д., Илларионов С.В. Ньютон и философские проблемы физики XX века. – М.: Наука, 1991.

4. См.: Франкфурт У.И. Специальная и общая теория относительности. – М.: Наука, 1968.

5. См.: Ньютон И. Математические начала натуральной философии.

6. См.: Богомолов А.Н. Математики, механики. – Киев: Наук. думка, 1983.

7. Цит. по: Франкфурт У.И. Специальная и общая теория относительности, с. 139.

8. http://history.rsuh.ru/historycd/HISTORY/HTML/LITER/HRESTOM/L/Lagrange_01.htm

9. Цит. по: Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. – М., Янус, 1996. – С. 77.

10. http://history.rsuh.ru/historycd/HISTORY/HTML/LITER/HRESTOM/L/Lagrange_01.htm

11. Там же.

12. Там же.

13. Там же.

14. http://books.atheism.ru/gallery/holbach/

15. http://history.rsuh.ru/historycd/HISTORY/HTML/LITER/HRESTOM/L/Lagrange_01.htm

 

Новосибирский государственный

университет

 

 

Belikov, A.V. Classical mechanics: from Newton to Lagrange

A brief historical review of the development of classical mechanics from Newton’s “Philosophiae naturalis principia mathematica” written in geometrical terms to analytical conceptualization of mechanics advanced by Euler and Lagrange is presented in this paper. The author states that Newton’s classical mechanics as a theory is more physical than Lagrange’s analytical one because in the former mechanical discourse is present all over the narration while in the latter it is in evidence only in the beginning when deriving the general equation of system motion.