© 1996 г.

ОБ ОНТОЛОГИЧЕСКОМ АСПЕКТЕ БЕСКОНЕЧНОГО

В.В.Корухов, О.В.Шарыпов

... можно принимать актуально бесконечное как in concreto,
так и in abstracto. Этой точки зрения, которую я считаю
единственно правильной, придерживаются лишь немногие.
Быть может, я по времени первый, защищающий ее с полной
определенностью со всеми ее следствиями, но одно я знаю твердо:
я не буду последним ее защитником!
Г. Кантор [1, 264]

На основе новых представлений о предельном характере инвариантных физических величин анализируется онтологический аспект понятия “бесконечное”. Показана связь идей порядковых типов актуально бесконечных числовых множеств с элементами новой картины мира и постнеклассической научной методологии. Исследуется общефилософское и конкретно–научное содержание понятий абсолютного актуально бесконечного, трансфинитного, конечного и актуально бесконечно малого в их взаимосвязи. Указывается роль новых представлений в развитии фундаментальных разделов современной математики и физики.

В подходах инфинитистов имелись заметные разногласия по вопросу о том, наличествует ли только потенциальная бесконечность, или следует признать также и существование актуальной бесконечности, которая не только заключается в возможной беспредельной последовательности каких–либо объектов или актов, но и дана целиком, сразу во всем своем объеме. Эти разногласия проявлялись в том числе и в споре о сущности беконечно малых величин. Многие математики и философы отмечали соединение в понятии актуальной бесконечности характерных черт конечного и бесконечного. Однако господство метафизического способа мышления и ограниченность естественнонаучной базы не позволяли прийти к такому пониманию актуально бесконечного, которое было бы настолько адекватно реальности, чтобы на его основе попытаться решить логический спор финитистов и инфинитистов. Исчерпывающий обзор истории вопроса содержится, например, в работе [2].

На современном этапе развития математики проблема бесконечности приобрела особую остроту и принципиальность. Предпринимаемые в ХХ столетии различными математическими школами попытки устранения противоречий с целью строгого обоснования основ математики не привели к желаемым результатам. При этом был предельно четко обозначен “камень преткновения”, заключающийся, с одной стороны, в необходимости, а с другой, – в противоречивости понятия бесконечности. Выявленные противоречия не укладываются в рамки общепринятой аристотелевской логики и выражаются в появлении формально–логических парадоксов.

На наш взгляд, современный уровень развития науки требует признания того, что содержание понятия бесконечности заключается не только в ее логико–гносеологическом аспекте, но также должно включать онтологическую сторону. Тем самым, для правильного конкретно–научного подхода к понятию бесконечности нужна соответствующая философско–методологическая основа, а для содержательного философского анализа необходим опыт конкретизации содержания бесконечного в частных науках. Онтологическое обоснование тех или иных общенаучных представлений следует искать прежде всего в физике как “наиболее онтологической” отрасли науки. Иными словами, поиски решения проблемы бесконечности на уровне математических абстракций или философских обобщений остро нуждаются в соотнесении с установившимися и развивающимися физическими представлениями. Осуществление подобного подхода к вопросу о бесконечном является принципиально новым. Традиционно физика заимствовала идеи о сущности бесконечного из философии и логики, поскольку не располагала данными онтологического характера ни о бесконечно больших, ни о бесконечно малых величинах. Лишь с открытием инвариантных физических величин и анализом их свойств, на наш взгляд, появляется возможность осуществления онтологически ориентированного подхода к решению вопроса о природе бесконечности (в дополнение к традиционно используемым методам спекулятивного характера).

Кантор, относя реальность конечных чисел к интрасубъективному, или имманентному виду реальности, утверждал также, что существует транссубъективный, или транзиентный вид реальности, связанный с “выражением процессов и отношений во внешнем мире, противостоящем интеллекту” [1, 79]. К нему он относил и актуально бесконечные числа. Для Кантора “не подлежит никакому сомнению, что оба эти вида реальности всегда совпадают в том смысле, что какое–нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении, обладает в известных, даже бесконечно многих отношениях и транзиентной реальностью. Правда, установление этой последней по большей части принадлежит к самым трудным и утомительным задачам метафизики и часто должно быть оставлено до тех времен, когда естественное развитие одной из прочих наук раскроет транзиентное значение рассматриваемого понятия. Эта связь обеих реальностей имеет свой собственный корень в единстве всего, к которому мы сами принадлежим” [1, 79]. Основной целью настоящей работы является обоснование и конкретизация онтологического (“транзиентного”) содержания математического понятия актуально бесконечного с тех позиций, что свойства этого понятия “зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков” [1, 263].

Говоря об особенностях теоретико–множественных представлений о бесконечном, прежде всего следует отметить, что, исследуя бесконечные множества, Кантор представлял их не в форме потенциально (“несобственно”) бесконечных рядов, а существующими целиком, в “завершенной” форме, но содержащими бесконечное число элементов. Рассуждая о бесконечности, Кантор отмечал: “В первой форме в качестве несобственно бесконечного она представляется как переменное конечное. В другой форме, в которой я называю ее собственно бесконечным, она выступает как вполне определенное бесконечное. Бесконечные реальные целые числа, в которых мы имеем конкретные числа с реальным значением, не имеют ничего общего с первой из двух названных выше форм, с несобственно бесконечным ... Мы получаем не просто одно–единственное бесконечное целое число, но бесконечную последовательность чисел, которые определенно отличимы друг от друга и находятся в закономерных теоретико–числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам. Правда, эти отношения не таковы, чтобы их можно было свести по существу к отношениям конечных чисел между собою” [1, 65]. Наглядным примером математической актуальной бесконечности может служить множество всех действительных чисел в отрезке [0; 1]. В самом деле, учитывая смысл переменных величин, используемых математикой, приходится признать, что возможность (потенция) для переменной принимать любые значения из некоторого бесконечного набора (например, из области рациональных или действительных чисел, заключенных между 0 и 1) заранее предполагает существование (актуальность) множества этих значений [3], тем самым актуально возможно существование не только конечных, но и бесконечных множеств.

Кантором было показано, что в бесконечном часть и целое часто оказываются равномощными, то есть характеризуются одним трансфинитным кардинальным числом. Например, мощность счетного множества не изменяется в результате прибавления любого конечного числа элементов. Поскольку каждому конечному или бесконечному множеству соответствует определенная мощность (кардинальное число), то операции над множествами сводятся к действиям над кардинальными числами. В случае конечных множеств имеет место обычная (архимедова) арифметика, а для бесконечных множеств – арифметика трансфинитная, законы которой выступают как обобщение законов архимедовой арифметики конечных множеств [4]. В обычной арифметике как количество элементов конечного множества, так и порядок их следования выражаются натуральными числами. “В случае конечных множеств мощность совпадает с количеством элементов, потому что, как известно, подобные множества в любом порядке имеют одно и то же количество элементов” [1, 66]. “Мощность множества представляет собой ... атрибут, независимый от его расположения. Наоборот, количество множества является, как только мы имеем дело с бесконечными множествами, фактором, зависящим вообще от некоторой данной последовательности элементов.” [1, 68]. В трансфинитной арифметике приходится четко различать мощность (кардинальное число) и порядковый тип множества (называемый в частном случае вполне упорядоченного множества ординальным числом). Действия над ординальными трансфинитными числами (w), согласно Кантору, существенно отличаются от действий над ординальными числами конечных множеств (w). Так, например, коммутативный  закон  архимедовой  арифметики   в  общем  случае  не  выполняется: w + w № w + w.

Еще одним важным свойством бесконечного, как показал Кантор, является относительность, выражающаяся в том, что между трансфинитными числами можно проводить сравнение. Традиционное представление о единственной в свем роде (абсолютной) бесконечности сменилось понятием существования трансфинитных чисел различных порядков, называемых Кантором “модификациями актуально бесконечного” [1, 284].

Перечисленные характерные свойства трансфинитных чисел подчеркивают их качественное отличие от конечных чисел, бесконечность как бы ускользает от попыток “оконечить” ее и заключить в рамки обычной логики. Вместе с тем Кантор указывал на единство конечного и бесконечного: “... никогда нельзя будет отрицать существование бесконечного, сохраняя в то же время существование конечного. Отрицая одно, мы должны отбросить и другое, но куда бы мы пришли, следуя этим путем?” [1, 73].

Последующее обнаружение ряда формально–логических парадоксов, связанных с использованием в математике актуальной бесконечности, вскрыло противоречивый характер этого понятия, не укладывающегося в жесткие рамки традиционной (аристотелевской) логики. Но все попытки разрешить или сгладить возникшие противоречия, придать абсолютную строгость основаниям математики (даже ценой отказа от актуальной бесконечности, перевода ее в разряд идеальных высказываний [5]) оказались безуспешными. Диалектически противоречивый характер математического понятия актуальной бесконечности требует применения новых законов логики. Решиться на подобный шаг и тем более указать его объективное содержание, опираясь лишь на абстрактные математические соображения, непросто. Поэтому необычайно важным является анализ установленных физических закономерностей на предмет выявления на фоне всего разнообразия взаимосвязей реального мира возможных проявлений свойств бесконечного. В случае убедительного подтверждения факта объективного существования актуально бесконечных физических величин появилась бы и объективная основа для решительного пересмотра привычных законов логики (в частности, для ограничения сферы применимости закона исключенного третьего) в направлении приведения их в соответствие положительно–диалектическому уровню научных представлений. Успешный переход к этому уровню предполагает понимание реальной основы, объединяющей те или иные противоположности, проявляющиеся в мире.

Под множеством в математике понимается “вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...” [1, 101]. Попытаемся кратко проанализировать, в какой мере данное (математическое) понимание множества соответствует физическим множествам, то есть множествам численных значений конкретных физических величин. Исходя из самых общих предпосылок, можно сказать, что исчерпывающая характеристика любого физического множества должна включать качественную и количественную стороны. Традиционно под качественной характеристикой физического множества подразумевается лишь то специфическое, что именуется размерностью физической величины, значения которой составляют данное множество. На основе этого признака в физике различаются множества значений длины, массы и пр. Возможность использования математических операций для описания физического явления предполагает “обезразмеривание” всех его характеристик. Считается, что в результате подобного абстрагирования от физической размерности физические множества полностью утрачивают свою качественную индивидуальность. Тем самым предполагается, что соответствующие математические (числовые) множества в качественном отношении между собой не дифференцированны. Однако в теории порядковых типов [1] мы обнаруживаем определенное понятие, отражающее некую качественную особенность заданного числового множества. “Если в некотором заданном множестве M ... мы отвлечемся как от свойств элементов, так и от порядка их задания, то у нас возникает определенное общее понятие ..., которое я называю мощностью множества M ... Я условливаюсь обозначать мощность множества M через . Две черточки над M должны означать, что над M совершен двойной акт абстракции как в отношении свойств элементов, так и в отношении их взаимного порядка.” [1, 298]. Обозначение используется Кантором для понятия порядкового типа множества M. Одна черточка над M означает единственный акт абстрагирования – лишь от свойств элементов. “Элементы при этом сохраняют и в понятии тот же взаимный порядок, с каким они мыслятся в M in concreto.” [1, 298]. Как видим, даже после абстрагирования от “свойств элементов” (то есть от физической размерности) в качестве характеристики множества остается не “чистое” количество элементов (мощность), но количество, зависящее от взаимного порядка элементов, называемое порядковым типом множества. Чтобы сравнивать множества в “чисто” количественном отношении, Кантор использует понятие мощности (кардинального числа) множества. Два множества Mⁱ и M^j эквивалентны (или равномощны) в смысле равенства “чистых” количеств составляющих их элементов ⁱ = ^j, если между этими множествами “можно установить по некоторому закону взаимно однозначное и полное поэлементное соответствие” [1, 298]. Равномощные множества в общем случае могут иметь различный порядковый тип (ординальное число). Совпадая для конечных множеств, кардинальные и ординальные числа для актуально бесконечных множеств отличаются друг от друга. “... Понятие целого числа, имеющее в области конечного под собой лишь понятие количества, как бы раскалывается, когда мы поднимаемся в область бесконечного, на два понятия – понятие мощности, независимое от придаваемого множеству порядка, и понятие количества, необходимым образом связанное с некоторым закономерным порядком множества, благодаря которому последнее становится вполне упорядоченным множеством.” [1, 79]. Спускаясь обратно из области бесконечного в область конечного, “оба понятия становятся одним и сливаются в понятие конечного множества” [1, 79]. На наш взгляд, понятие мощности характеризует “чистое” количество элементов множества, а порядковый тип отражает качественную индивидуальность данного математического (числового) множества.

Задаваясь закономерным вопросом, чем может быть физически объяснено указанное сохранение качественной специфики того или иного множества после абстрагирования от свойств его элементов, нетрудно прийти к выводу, что ни в классической, ни в неклассической физике не существует системы представлений, отвечающей данному положению канторовской теории типов. Не видел их, в свою очередь, и Кантор, что, по–видимому, ничуть его не смущало: “... математика имеет полное право развиваться совершенно независимо от всяческих метафизических влияний” [1, 81]. Тем не менее, если мы подходим к анализу бесконечного с онтологической точки зрения, нам необходимо ответить на вопрос о том, почему существующие на сегодня физические теории не содержат представлений, которые математически отображались бы порядковым типом множества или иным понятием, характеризующим качественную индивидуальность данного множества (помимо физической размерности его элементов)?

Нам представляется наиболее логичным следующий ответ. Все физические теории, как правило, используют потенциально бесконечные множества значений физических величин. На деле это означает, что значение той или иной физической величины всегда имеет характер лишь переменного конечного. Во всех теориях, использующих потенциально бесконечные физические множества, сама бесконечность () нигде в конкретных ситуациях не фигурирует, а ее появление означает лишь неблагополучие в данной теории. После абстрагирования от физической размерности значений величин эти теории, будучи интерпретированы в математических понятиях, оперирует с математическими множествами, по существу являющимися конечными числовыми множествами. Для последних же, как известно, кардинальное число (мощность) не отличается от ординального числа. Кантор даже указывает, что в конечных множествах эти понятия “сливаются”, то есть было бы бессмысленным пытаться выявить какие–либо качественные отличия равномощных конечных числовых множеств. Тем самым, в физических теориях закономерно отсутствуют представления о том, что множества могут чем–либо различаться помимо физической размерности. Более близким физике языком можно сказать, что для конечных (как и для потенциально бесконечных) множеств количество элементов и определение операций с ними универсальны вследствие абстрагированности от индивидуальной внутренней структуры множеств. В то же время вряд ли может вызвать априорные принципиальные физические возражения следующее предельно общее суждение о том, что причастность физического множества к тому или иному конкретному объекту (процессу) должна, вообще говоря, определять некую качественную специфику этого множества. Не исключено, что на абстрактном математическом языке подобная вероятная специфика физического множества может быть интерпретирована как тип упорядоченности элементов соответствующего математического множества. Причем для того, чтобы понятие специфики физического множества было содержательным, необходимо, чтобы математическим отображением этого множества служило не конечное (или потенциально бесконечное) числовое множество, но множество актуально бесконечное.

Как нами было отмечено выше, наличие качественного своеобразия конкретного актуально бесконечного множества может проявляться через особый характер определенных на этом множестве операций с элементами (то есть операций с числовыми значениями данной физической величины, составляющими актуально бесконечное множество). В первую очередь, эти особенности должны сказываться на определении арифметических действий. Как известно, в современной физике арифметические действия на любых физических множествах (за исключением одного, о котором речь пойдет ниже) задаются в форме архимедовой арифметики. При использовании этих действий благодаря аксиоме Архимеда о неограниченности числовой оси всегда неявно предполагается потенциальная бесконечность и непрерывность множества, операции выполняются только с конечными значениями, и конкретные производимые количественные преобразования элементов никак не учитывают ни бесконечности общего числа элементов, ни причастности множества к тому или иному физическому объекту (процессу). Таким образом, можно прийти к выводу, что в рамках общепринятых физических воззрений не существует достаточных оснований для непосредственного практического применения к описанию реальности канторовской теории порядковых типов и базирующихся на ней представлений о трансфинитном. Этот вывод в целом представляется нам справедливым. Но существует и определенное исключение из этой общей ситуации. Оно связано со специальной теорией относительности (СТО).

Кантор отмечал, что к идее актуальной бесконечности он “пришел почти против собственной воли и в противоречии с ценными для него традициями, логически вынужденный к этому ходом многолетних усилий и попыток” [1, 73]. Подобно тому как математика прошлого столетия в силу своего внутреннего развития привела к “канторовской революции”, физикой XIX века был подготовлен резкий переход к неклассическим представлениям. Главными атрибутами неклассической физики явились скорость света c и постоянная Планка ћ, которые, характеризуясь конечными значениями, обладают свойством предельности. Предельный (максимальный) характер величины c по отношению к множеству относительных скоростей вещественных объектов непосредственно следует из постулата СТО об инвариантности значения скорости света в пустоте по отношению к выбору инерциальной системы отсчета (ИСО) (лоренц–инвариантность). Предельный (минимальный) характер кванта действия ћ тоже был принят в форме постулата. Спустя почти век после выдвижения этих постулатов в физике не осталось сомнений в их соответствии объективной реальности. Однако по–прежнему открытым остается вопрос об онтологическом “подтексте” этих постулатов.

В контексте настоящей работы особое внимание привлекает величина c. Анализируя ее в поисках характерных черт актуальной бесконечности, отметим, во–первых, что в теоретико–множественном аспекте множество возможных значений относительных скоростей V ограничено определенными значениями – 0 и c, и в то же время содержит бесконечное число элементов (действительных чисел), то есть предствляется актуально бесконечным множеством (как и любая часть этого множества, например, [0; n₁]).

Во–вторых, весьма характерной известной особенностью рассматриваемого бесконечного множества, ограниченного инвариантной величиной с конечным значением c, является равенство (и в то же время неравенство) части целому. Причем это равенство проявляется не только в смысле равномощности. Действительно, движение системы отсчета с той или иной постоянной скоростью v < c (v О V) относительно источника света не изменяет значения скорости светового сигнала, измеряемого в этой системе отсчета. Выражаясь более формализованно, здесь имеет место ситуация, аналогичная сохранению трансфинитного кардинального числа (мощности) бесконечного множества при любом конечном изменении числа его элементов. Причем в данной физической ситуации аналогом критерия конечности изменения количества элементов множества выступает указанное выше неравенство v< c , что подчеркивает принципиальное отличие величины c от любого конечного элемента множества значений относительных скоростей. Это отличие носит качественный характер. Оно проявляется и в известной неархимедовости сложения скоростей:

v₁ v₂ = (v₁ + v₂) / (1 +v₁v₂ /c² ).

Из этой формулы следует, что любое значение скорости 0 v< c “отличается” от  скорости  света   на величину  c  (что  формально  можно  записать  в  виде: |v – c|= c). Подобная “равноудаленность” значения c от всех конечных элементов ограничиваемого им множества V может быть однозначно интерпретирована как качественная разнородность c и любого из элементов множества V. Данный особый статус скорости света аналогичен привычному математическому свойству потенциальной бесконечности: любое конечное смещение по числовой оси не может нас приблизить или удалить от . Кроме того, аналогично бесконечности в архимедовой арифметике, величина c, в силу своей качественной специфики, не является элементом ограничиваемого ею множества V и равна самому множеству V в смысле асимптотического равенства c сумме всех элементов множества V.

Ограниченность множества относительных скоростей V скоростью света, имеющей инвариантное конечное значение, обусловливает неархимедовый характер арифметики для операций с элементами множества V и как следствие – нетрадиционное определение элементарных функций, операторов дифференцирования, интегрирования и т. д. Основываясь на идеях СТО, в работе [6] был предложен вариант соответствующей неархимедовой арифметики и других конструктивных средств математики, отличающихся от традиционных отказом от аксиомы Архимеда о неограниченности числовой оси сверху. Другие варианты неархимедовой арифметики, предполагающие существование минимального ненулевого инвариантного элемента, представлены в работах [7 – 9]. Заметим, что множества с ненулевым минимальным элементом также являются актуально бесконечными (в силу возможности установления взаимнооднозначного поэлементного соответствия, например, с множеством V). Все упомянутые варианты неархимедовых арифметик по существу принадлежат к типу трансфинитных арифметик для актуально бесконечных множеств. Нетрудно убедиться, что арифметики [6, 8, 9] являются обобщениями архимедовой арифметики и переходят в нее в предельном случае.

Хотя приведенный анализ не дает достаточных оснований для того, чтобы в строгом смысле определить величину c по отношению к множеству значений относительных скоростей как канторовское трансфинитное кардинальное или ординальное число данного множества, тем не менее, на наш взгляд, имеются веские основания рассматривать c как актуальную (“конечную”) бесконечность в отношении множества всех возможных значений относительных скоростей вещественных объектов V. В пользу этого вывода свидетельствуют следующие обстоятельства: а) бесконечность множества V (количество элементов превышает любое конечное число); б) выполнение величиной c роли недостижимого предела для элементов множества V (аналогично роли в потенциально бесконечных множествах); в) внешний характер величины c по отношению к элементам множества V; г) неархимедовость арифметики на множестве V. Этой точки зрения придерживался и сам автор постулата инвариантности c: “... скорость света в нашей теории физически играет роль бесконечно большой скорости” [10, 18]. Характеристика c как качественно обособленного недостижимого предела актуально бесконечного множества V является, по–видимому, наиболее наглядным и убедительным из приведенных аргументов в пользу представления о величине c как об актуально бесконечном. Выводы о свойствах скорости света сделаны нами на основе физических представлений, многократно подтвержденных экспериментально и поэтому имеют определенное онтологическое обоснование и объективный статус.

В то же время налицо принципиальное отличие c от канторовских трансфинитных чисел, заключающееся в том, что она недоступна увеличению. Кантор различал актуально бесконечное в трех отношениях: “Во–первых, поскольку оно осуществляется в высочайшем совершенстве, в совершенно независимом, внемировом бытии, in Deo, где я называю его абсолютно бесконечным или просто абсолютным; во–вторых, поскольку оно обнаруживается в зависимом сотворенном мире; в–третьих, поскольку мышление может постигнуть его in abstracto как математическую величину, число или порядковый тип. В двух последних отношениях, где оно, очевидно, представляется как ограниченное и еще доступное увеличению, а тем самым родственное конечному ..., я называю его трансфинитным и самым строгим образом противопоставляю абсолютному” [1, 268]. Следовательно, согласно оригинальному определению, актуально бесконечная величина c может претендовать в отношении множества V только на роль абсолютно бесконечного, “величина которого недоступна ни увеличению, ни уменьшению и которое в количественном отношении нужно рассматривать как абсолютный максимум” [1, 292 – 293]. Особо отметим, что мнение Кантора о том, что абсолютно бесконечное осуществляется “в совершенно независимом, внемировом бытии”, допускает простую, но вполне содержательную физическую интерпретацию, а именно: скорость c реализуется для объектов, внешних по отношению к вещественному миру, – для полевой формы материи, например, фотонов, и с этим связан ее внешний, так сказать, “потусторонний” характер.

Перечисленные выше аргументы, основывающиеся на известных физических представлениях, строго говоря, оказываются все же недостаточными для определения c как абсолютно бесконечного. Причина этого заключается в том, что во всех приведенных рассуждениях свойства c берутся и анализируются изолированно, без учета внутренней логической взаимосвязи со свойствами элементов множества V. Чтобы пояснить это, обратим внимание на то, что в СТО c оказывается недостижимым пределом непосредственно для конечных значений относительной скорости объектов, а это полностью расходится с канторовским понятием абсолютно бесконечного. Кантор в этом отношении категоричен: “... со времен Канта среди философов укрепилось ложное представление, будто абсолютное является идеальным пределом конечного, между тем как в действительности этот предел можно мыслить лишь как некое трансфинитное и притом как минимум всех трансфинитов” [1, 280]. Тем самым, мы сталкиваемся здесь с проблемой отсутствия в современной физике понятия трансфинитных величин, бесконечная иерархия которых только и может привести к актуальности абсолютно бесконечного. Поскольку у нас нет никаких оснований отвергать логический вывод Кантора об актуальном существовании “между” конечным и абсолютным нового качества – трансфинитного, то перед нами встает задача целенаправленного критического анализа новых фундаментальных физических представлений, связанных с формулированием постнеклассических теорий. Результаты этого исследования должны быть непосредственно связаны с развитием гипотез, концепций, более общих и глубоких по сравнению с традиционными теориями.

Как уже отмечалось выше, существование в теории порядковых типов иерархии трансфинитных чисел обусловлено наличием качественной специфики, индивидуализирующей бесконечные множества: каждому определенному трансфинитному числу соответствует свое, отличное от других, множество. Если онтологизировать это положение, то следует принять, что, в частности, среди множества возможных значений относительных скоростей вещественных объектов V должны реально существовать качественно различающиеся подмножества Vⁱ. Здесь перед физиком сразу же возникает закономерный вопрос: чем можно объяснить объективное существование таких подмножеств и, соответственно, по какому физическому принципу (критерию) они формируются (выделяются)? Поскольку этот вопрос сформулирован в самом общем виде, то и ответ на него носит предельно общий характер: какое–либо содержательное различие подмножеств Vⁱ и V^j множества V физически может быть обосновано исключительно тем, что эти множества должны быть отнесены к различным физическим объектам. Этот ответ, несомненно, не может претендовать на исчерпывающее решение проблемы хотя бы потому, что оставляет нерешенной вторую часть вопроса: почему отличаются множества значений относительных скоростей, характеризующие различные объекты? Тем не менее, принятие именно этого варианта ответа предопределяет весь дальнейший ход рассуждений.

Чтобы двигаться дальше, прежде всего следует разобраться, что мы мы понимаем под различием объектов. Наиболее фундаментальным понятием в механике, на основе которого различаются объекты, традиционно служит масса. Именно различия величины массы покоя (m₀) лежат в основе признанного в физике качественного деления материальных объектов на вещественный и полевой виды реальности. Причем возможности подразделения материи на виды этим не исчерпываются. Используя m₀ как критерий, можно определить еще два вида материи: планкеонный и тахионный [11]. Всем этим видам реальности свойственны различные множества возможных скоростей. Таким образом, в современной физике, благодаря СТО, уже имеются примеры связи между индивидуальными характеристиками объектов и множествами их возможных скоростей. Правда, эти представления жестко привязаны к предельным значениям скорости и массы покоя.

Сейчас наша задача состоит в том, чтобы расширить область применимости подобных представлений – выявить связь между спецификой множества значений относительных скоростей Vⁱ, присущих вещественному объекту, и значением его массы покоя mⁱ₀.

Необходимой методологической и теоретической базой для позитивного решения поставленной физической и философской проблемы может служить развиваемая в работах [8, 9, 11 – 13] система новых научных представлений, тесно связанная с существованием инвариантных физических величин. К ним относятся постоянная Планка ћ, скорость света c, гравитационная постоянная G, постоянная Больцмана k и любые другие размерные величины, именуемые планковскими: Z_pl ћcGk [11]. Планковские величины лоренц–инвариантны, в современной физике все более явственно обнаруживается их универсальное свойство играть роль абсолютных пределов для множеств соответствующих физических величин. На основе свойств Z_pl были сформулированы понятия планкеонного эфира; инвариантного покоя; предельно минимального размера вещественного объекта; дискретно–непрерывного характера пространства–времени; обусловленности ряда топологических и метрических свойств пространства и др. В совокупности результаты [8, 9, 11 – 13] подготавливают основу для формирования элементов новой картины мира и выработки постнеклассических научных представлений [14, 15].

К одним из первых наиболее важных результатов, полученных с использованием инвариантных величин, относится обнаруженная связь максимальной скорости относительного движения v_max с массой покоя m₀ или комптоновским размером l₀ элементарной частицы [11, 16]:

Этот результат, отражающий предел применимости СТО в области планковских значений физических величин (именуемый в дальнейшем высокоэнергетическим пределом применимости СТО), дает одновременно и решение поставленной выше проблемы. Выражением (1) в явном виде задается связь максимальной возможной (то есть объективно наблюдаемой) скорости относительного движения микрообъекта в зависимости от его индивидуальной физической характеристики – массы покоя (или комптоновского размера). Тут следует четко понимать, что, согласно (1), v_max играет для конкретного вещественного объекта (элементарной частицы) ту же роль, что и скорость света в СТО для всей совокупности вещественных объектов. Соответственно, на v_max можно распространить выводы, полученные выше для c на основе анализа ее недостижимого предельного характера по отношению к V. Получается, что каждый вещественный объект с характеристиками mⁱ₀ , lⁱ₀ (mⁱ₀ m_pl , lⁱ₀ l_pl ) обладает собственным множеством возможных относительных скоростей Vⁱ, причем все элементы этого множества vⁱ vⁱ_max. На множестве Vⁱ можно определить операцию сложения:

а также и все остальные операции соответствующей арифметики с максимальным числом vⁱ_max (аналогично [6]). Величина vⁱ_max в силу качественной выделенности не принадлежит множеству Vⁱ. Отличие элементов множества Vⁱ от vⁱ_max аналогично различию между конечным числом и бесконечностью.

Величины vⁱ_max могут рассматриваться в качестве претендентов на роль трансфинитов, занимая нишу “между” конечными относительными скоростями и абсолютно бесконечным c. Как было показано, для подтверждения подобного предположения необходимо дополнительно установить: а) актуальную бесконечность Vⁱ; б) доступность величины vⁱ_max увеличению. Кроме этого, важно еще ответить на вопрос, насколько полно новые физические представления согласуются с канторовской теорией порядковых типов, на которую мы опирались в ходе рассуждений. Действительно, если не удастся показать их достаточно глубокого формального логического соответствия, то можно оказаться в ситуации, когда результаты анализа не согласуются с исходными посылками, что указывало бы на наличие логических ошибок или недоказанности переходов в рассуждениях.

Итак, что касается пункта а), то актуальная бесконечность множества Vⁱ, то есть бесконечность числа его элементов, a priori вряд ли может вызывать серьезные возражения, поскольку значения vⁱ не ограничены снизу (vⁱ может принимать сколь угодно малое значение). Заметим, что этот вывод не зависит от предположений о дискретности или непрерывности пространства–времени. Кроме того, актуальность бесконечного количества элементов Vⁱ можно связывать и с тем, что в мире реально существует сколь угодно большое (бесконечное) число объектов, одновременно, сразу находящихся в различных состояниях движения относительно данного объекта.

Доступность величины vⁱ_max увеличению связана с физической относительностью наблюдаемого движения. Заменой объекта наблюдения закономерно обеспечивается и изменение значения vⁱ_max. Формальное логическое соответствие результатам теории типов здесь весьма глубоко. По Кантору, изменение способа упорядоченности элементов бесконечного множества приводит к изменению его порядкового типа и соответствующего значения трансфинитного ординального числа. Это число не изменяется в результате добавления любого конечного числа (подмножества), что соответствует, например, записи: w + = . Физически этому отвечает бесплодность попыток регистрации более высокого, чем vⁱ_max, значения относительной скорости объекта с массой покоя mⁱ₀:  vⁱ vⁱ_max = vⁱ_max.

Характерное для теории порядковых типов нарушение коммутативности сложения, которое можно выразить в следующей форме: w + = + w,  приобретает в терминах v_max определенную интерпретацию. Физический смысл столь необычного утверждения состоит в том, что один и тот же наблюдатель, инерциальная система отсчета (ИСО) которого связана с каким–либо вещественным объектом, будет “измерять” (по своим часам и линейке) различную предельную скорость возможного относительного движения в зависимости от величины массы покоя наблюдаемого объекта. Если для одного объекта относительная скорость не может превысить величины vⁱ_max, то, заменив наблюдаемый микрообъект более легким, можно зафиксировать скорость v^j > vⁱ_max, но, конечно, v^j < v^j_max. Этому случаю будет соответствовать запись: vⁱ_max v^j > vⁱ_max.

Таким образом, любой вещественный объект в зависимости от конкретной физической ситуации будет располагать тем или иным множеством возможных значений относительной скорости Vⁱ, причем vⁱ< vⁱ_max < c . На основе данного уточнения (не нарушающего принципа относительности СТО) можно сделать вывод, что величины vⁱ_max очень хорошо согласуются с трансфинитами, как последние охарактеризованы в теории порядковых типов.

Приведем здесь еще ряд принципиальных, на наш взгляд, замечаний. О различающихся, просто упорядоченных множествах Vⁱ, согласно определению [1, 249], нельзя сказать, что они подобны, то есть их невозжно отобразить друг на друга. Но в традиционном континуальном представлении о пространстве–времени любое из множеств Vⁱ также представляет собой континуум, поскольку его элементы составляют полуинтервал [0; vⁱ_max) множества всех действительных чисел. В этом случае нормировкой vⁱ/vⁱ_max все множества Vⁱ отображаются на полуинтервал множества действительных чисел [0; 1) и далее обратной нормировкой могут быть отображены друг на друга. Этот результат находится в полнейшем противоречии со всеми выводами, сделанными нами выше на основе применения идей теории порядковых типов, ибо подобие множеств вообще лишает нас возможности сравнивать их и устанавливать какую–либо их иерархию, поскольку их порядковые типы (как и мощности) совпадают. Строго говоря, становится невозможным даже выделить, идентифицировать хотя бы одно множество Vⁱ, отличное от V. Тем самым, все рассуждения полностью теряют смысл. Выход из этого логического тупика связан с тем, что при учете высокоэнергетического предела применимости СТО необходимо пересматривать и представления о свойствах пространства–времени. Оно уже не может быть математически представлено в форме континуума в силу наличия актуальных (конечных) нулей для возможных длин отрезков и промежутков времени (l_pl и t_pl), характеризующих мир вещественных объектов. Соответственно и множества значений Vⁱ будут представлять собой различные бесконечные подмножества множества рациональных чисел. Тогда Vⁱ уже вовсе не обязаны быть подобны, что, в свою очередь, и позволяет обоснованно применять идеи теории типов для анализа проблемы актуально бесконечного в представленном здесь физическом аспекте.

Если множества Vⁱ представляют собой последовательности рациональных чисел, то их пределами могут являться и числа иррациональные. Определению какого–либо иррационального действительного числа всегда соответствует строго определенное множество первой мощности рациональных чисел [1, 81]. То есть значения vⁱ_max могут не принадлежать множеству рациональных чисел, образуя расширение этого множества. В этом случае качественное отличие vⁱ_max включало бы несоизмеримость vⁱ и vⁱ_max, а объединение множества всех трансфинитных величин V_max и V (множества всех множеств Vⁱ) могло бы обладать качественно  новыми  свойствами,  –  свойствами  континуума,  поскольку  V_max V было бы эквивалентно (равномощно) несчетному множеству всех действительных чисел из полуинтервала [0; с). Эти выводы, по–видимому, не следует понимать буквально, поскольку традиционные континуальные представления о числовых множествах, строго говоря, должны быть соответствующим образом обобщены с учетом существования актуального (конечного) нуля.

На глубокую аналогию между трансфинитными и иррациональными числами указывал и Кантор: “... я обозначаю наименьшее трансфинитное число знаком, отличным от обычного знака , соответствующего смыслу потенциально бесконечного, а именно через . Разумеется, этот знак w можно в известном смысле рассматривать как предел, к которому стремится переменное целое число n, но только в том смысле, что есть наименьшее трансфинитное порядковое число, то есть наименьшее твердо определенное число, которое больше, чем все конечные числа v. Аналогично и есть предел известных переменных возрастающих чисел с той лишь особенностью, что разность между и этими приближенными дробями становится бесконечно малой, тогда как – v всегда равна . Но это различие нисколько не меняет того обстоятельства, что содержит в себе столь же мало следов стремящихся к нему чисел v, как и от рациональных приближенных дробей. Трансфинитные числа в известном смысле суть сами новые иррациональности. Действительно, по–моему, лучший метод определения конечных иррациональных чисел совершенно подобен, я готов сказать, в принципе тот же самый, что и мой описанный выше метод введения трансфинитных чисел. Можно безусловно сказать: трансфинитные числа стоят или падают вместе с конечными иррациональными числами. По своему внутреннему существу они подобны друг другу, ибо как те, так и другие суть определенно отграниченные образования или модификации () актуально бесконечного” [1, 283 – 284].

Представление Vⁱ в форме определенной трансфинитной последовательности рациональных чисел не противоречит ранее использованному нами определению Vⁱ как вполне упорядоченного бесконечного множества. Тогда для последовательности возрастающих значений относительной скорости i–го объекта vⁱ_w можно ввести обозначение {vⁱ_w}, а предельному значению vⁱ_max будет соответствовать обозначение .

При определении того или иного конечного иррационального числа как предела бесконечной последовательности рациональных чисел {a_w}, в основу кладется множество*, которое удовлетворяет тому условию, что сколько бы и каких бы из этих a_w мы ни суммировали в конечном количестве, эта сумма всегда остается меньше некоторой заданной границы. В качестве примера таких границ приведем выражения для иррациональных чисел ² и e:

),

означающее, что значение vⁱ_max служит конечным пределом трансфинитной последовательности {vⁱ_w}. Приведенные определения и аналогии позволяют указать следующую особенность {vⁱ_w}: среди всего бесконечного числа ограниченных сверху значений vⁱ_w невозможно указать максимального, то есть элемента, непосредственно предшествующего vⁱ_max. На эту особенность бесконечных вполне упорядоченных множеств обращал внимание Кантор: “... было бы бессмысленным говорить о кардинальном числе, непосредственно предшествующем , или о порядковом числе, непосредственно меньшем, чем ” [1, с.282]. Тем самым мы получаем дополнительное подтверждение качественной обособленности величины vⁱ_max от элементов множества Vⁱ. Отметим в то же время, что в отличие от действительных иррациональных чисел предельный характер vⁱ_max в отношении трансфинитной последовательности значений {vⁱ_w} обеспечивается не специальным заданием вида этой последовательности (то есть определенным подбором элементов vⁱ_w), а неархимедовостью определения арифметических операций (2) на множестве Vⁱ.

Характеризуя vⁱ_max как трансфинитную величину, мы используем термин, введенный Г.Кантором для обозначения порядковых чисел вполне упорядоченных актуально бесконечных множеств. В то же время vⁱ_max вовсе не относится к порядковым числам (типам) множества Vⁱ, а значение vⁱ_max в отличие от w не является “целым числом, превышающим все конечные целые числа”. Мы в данной работе и не стремились к непосредственному буквальному приложению теории порядковых типов к физическим моделям. Целью скорее было сопоставление идей и внутренней логики разработанной Кантором теории с новыми физическими концепциями, вплотную касающимися таких вещей как актуальные нуль и бесконечность, неархимедовость числовой системы, неаристотелевская логика и др. Проблематичность непосредственного приложения теории порядковых типов к множествам значений физических величин связана еще и с тем, что Кантором были использованы классические представления о точечных множествах, континууме, непрерывности, что приводит в частности, к неограниченности числовой оси, архимедовости арифметики и т. п. В результате трансфинитное уже не может быть выражено каким–либо действительным числом, которое можно было бы приписать реальной физической величине. Ценность результатов Кантора состоит в том, что им была правильно показана главная качественная особенность всей проблематики трансфинитного, а именно – сочетание аспектов конечности и бесконечности в одном математическом объекте. Поэтому, хотя аксиоматика и область применения результатов теории типов полностью принадлежат классической математике, в отношении методологии и философского содержания теории можно с уверенностью сказать, что Кантору удалось достичь принципиально более глубокого уровня понимания, опередив почти на столетие развитие передовых научных идей.

В противоположность классическому подходу нами в качестве исходных приняты представления об ограниченности, неархимедовости, о существовании ограниченных актуально бесконечных множеств. Как было показано выше, получаемые на этой базе выводы, касающиеся свойств актуально бесконечного, находятся в замечательном качественном соответствии с характеристикой трансфинитного и абсолютного в теории Г.Кантора. Подобное согласие результатов, конечно, не может быть простым совпадением, не обусловленным внутренним единством двух противоположных подходов. Скорее в этом следует усматривать проявление некоей объективно существующей системы свойств, диалектически объединяющей указанные противоположные представления. Не исключено также, что теория типов Г.Кантора допускает обобщение или переформулирование с учетом постнеклассических научных представлений. Так или иначе, развитая Г.Кантором методология изучения свойств актуально бесконечного в математике служит надежным и единственным фундаментом для анализа взаимосвязи конечного и бесконечного в других науках и, прежде всего, в постнеклассической физике. Можно прийти к выводу о том, что математическая концепция актуально бесконечного получает, в частности, широкое поле применения в физике, учитывающей существование высокоэнергетического предела применимости СТО.

Подытоживая данный раздел настоящей работы, посвященный подробному сопоставлению положений и выводов теории порядковых типов с новыми фундаментальными физическими представлениями, отметим следующее. Значение определенной для каждого конкретного микрообъекта величины vⁱ_max, являясь конечным, в тоже время служит пределом трансфинитной последовательности (множества), включающей все возможные значения скорости относительного движения данного объекта (vⁱ_w). По отношению ко множеству Vⁱ конечное значение vⁱ_max играет роль бесконечности и по существу является относительным актуально бесконечным числом. Тем самым vⁱ_max с полным основанием следует присвоить статус трансфинитной величины, подразумевая под этим не сверхконечное порядковое число (тип) бесконечного множества, а конечное число, количественно равное самому бесконечному множеству. Задание vⁱ_max позволяет однозначно выделить, индивидуализировать соответствующее множество Vⁱ, и в том числе определить арифметические и другие математические операции с его элементами. В частности, неархимедовость сложения (2) в асимптотическом смысле обеспечивает упомянутое выше равенство vⁱ_max множеству Vⁱ, то есть сумме всех элементов актуально бесконечного множества Vⁱ. Являясь трансфинитным (сверхконечным) по отношению к элементам множества Vⁱ, vⁱ_max выступает как конечная величина по отношению к V^j, которое характеризуется большим предельным значением (то есть v^j_max > vⁱ_max). Бесконечное множество всех возможных значений vⁱ_max тождественно множеству всех множеств Vⁱ и ограничено абсолютным актуально бесконечным числом c. Абсолютный характер последнего проявляется в его инвариантности: оно не подлежит ни увеличению, ни уменьшению, не зависит от выбора ИСО, относясь к характеристикам отличного от вещества вида материи.

Открытие того факта, что c играет роль абсолютной актуальной бесконечности для множества относительных скоростей, обеспечивает, в частности, новый угол зрения на проблему кинематики вещественных объектов в планкеонном эфире. Ранее в работе [8] было показано, что свойство лоренц–инвариантного покоя эфира логически совместимо с существованием относительного движения вещественных объектов при условии, что элементарное движение заключается в смещении на лоренц–инвариантную минимальную длину l_pl со скоростью c. Величина l_pl уже по своему определению играет роль актуального (конечного) нуля множества всех длин. Соответственно, суммирование “отрезков пути” любого числа элементарных движений не приводит к какой–либо величине, отличной от l_pl. Данные формально–логические рассуждения в работах [8, 9] были положены в основу новых представлений о кинематике вещественных объектов и взаимосвязях планкеонного эфира, вещества и поля. Из существования минимальной длины l_pl непосредственно следуют выводы о дискретно–непрерывном характере пространства–времени, изотахии элементарных движений, необходимости трехмерности пространства, связанного с кинематикой вещественных объектов и др.

Из общих соображений взаимосвязи инвариантных физических величин [15] можно сделать вывод, что c является единственным возможным значением скорости, которое следует приписывать элементарному движению. Инвариантный характер c приводит, согласно СТО, к относительности одновременности: одновременными являются события, связанные нулевым (световым) интервалом. Если учесть это положение, то оказывается, что элементарное смещение на расстояние l_pl за время t_pl = l_pl/c нельзя рассматривать как процесс в обычном понимании. Вещественный наблюдатель (взаимодействующий объект) в качестве длины минимального объекта будет воспринимать величину 2l_pl. Причем наблюдатель принципиально не сможет воспринять элементарное смещение наблюдаемого минимального объекта как процесс движения, в силу чего в традиционном смысле должен будет принять величину 2l_pl в качестве длины покоя минимального вещественного объекта.

Здесь, на первый взгляд неожиданно, происходит соединение в одном явлении двух классических противоположностей: элементарное движение объекта воспринимается как покой, а покой представим как совокупность элементарных движений. Понимание этой ситуации может быть существенно облегчено, если учесть роль c как актуально бесконечной скорости. Даже в классическом представлении движение объекта с бесконечной скоростью закономерно неотличимо от покоя, поскольку тело сразу занимает все возможные места своей траектории и куда–либо сместиться не может. В новом понимании величина c, являясь конечной, в то же время выполняет роль бесконечности для множества относительных скоростей. Поэтому неудивительно, что логика позволяет представить покой объекта в эфире как последовательность элементарных смещений с актуально бесконечной скоростью c. Каждое элементарное движение принципиально неотличимо от покоя. Можно заключить, что вывод об инвариантном покое вещественного объекта в планкеонном эфире является логическим следствием свойства изотахии движения в дискретно–непрерывном пространстве–времени [18, 8, 9]. Учитывая сказанное, можно также сделать вывод, что конечная величина c выступает сразу в двух противоположных ролях: абсолютно бесконечной величины для множества относительных скоростей и нулевой скорости объектов, покоящихся в эфире. Данный положительно–диалектический уровень понимания движения и покоя подтверждает правильность полученных интуитивным путем результатов [8, 9], касающихся проблемы инвариантного покоя эфира, формирования минимальных вещественных объектов, применения неархимедовой арифметики и др.

В приведенной выше характеристике величины c на поверхность выходит то обстоятельство, что истинной противоположностью абсолютно бесконечному является не конечная величина, а нуль как полное отрицание какого–либо количества [2], точнее, как величина, не способная к дальнейшему уменьшению. Что же касается конечного, то его противоположностью, по–видимому, служит трансфинитное (относительно бесконечное). Диалектическое единство данных противоположностей заключается в том, что для каждой из этих двух пар противоположных понятий существует единый реальный объект (процесс), свойства которого объективно проявляются в форме той или иной противоположности в зависимости от выбора конкретной описывемой ситуации. Объединение свойств абсолютно бесконечной и нулевой величин для множества значений относительных скоростей обеспечивается свойствами планкеонного эфира, в то время как конечные и трансфинитные значения скоростей существуют благодаря кинематике вещественных объектов в эфире. Описанное попарное онтологическое единство противоположностей математически проявляется в упомянутом выше нарушении коммутативности операции сложения. Для пояснения сказанного можно привести следующий пример:

Первое выражение указывает на то, что vⁱ_max обладает свойствами бесконечности по отношению к Vⁱ. При скорости относительного движения, равной vⁱ_max, начинается уход объекта за горизонт событий черной дыры, что, как известно, является координатным эффектом, который выражается для удаленного наблюдателя в остановке хода часов, связанных с наблюдаемым объектом. Как следствие, становится физически невозможным наблюдение с помощью данного объекта относительного движения со скоростями, превышающими vⁱ_max. Второе выражение, в противоположность первому, подтверждает доступность vⁱ_max увеличению, о чем подробно говорилось выше. Иными словами, значение трансфинитной величины сочетает в себе свойства конечного и относительно бесконечного числа, проявляя то или иное в зависимости от конкретной физической ситуации.

Для величины c аналогично можно формально записать:

дав этим выражениям следующую интерпретацию. Первое равенство предполагает, что скорость v, характеризующая состояние относительного движения пары вещественных объектов, инвариантно покоящихся в планкеонном эфире, суммируется с единственно допустимой в эфире скоростью движения (например, скоростью фотона). Этим равенством формально подчеркивается аспект абсолютной бесконечности, содержащийся в c. Второе равенство можно сопоставить следующей конкретной ситуации: если попытаться суммировать относительную скорость движения двух вещественных объектов со скоростью их элементарных движений в планкеонном эфире, то обнаруживается, что c проявляет свойства нуля, никак не влияя на значение v. Как видим, интерпретация c как нуля и бесконечности базируются на одном и том же процессе (состоянии) динамики объектов в эфире и на свойствах самого эфира. И хотя с физической точки зрения операции с величиной c, возможно, не являются вполне корректными, математически эти записи наглядно выражают аспект единства противоположных идеальных (абсолютных) понятий.

Неудивительно, что Кантор как математик не был озабочен проблемой объяснения факта некоммутативности сложения трансфинитного. В то же время он был убежден в адекватности реальности своих выводов. “... Если мы возьмем какое–либо бесконечное число, мыслимое как определенное и законченное, то к нему отлично можно прибавлять и соединять с ним какое–либо конечное число, и это вовсе не повлечет за собой уничтожения последнего (наоборот, бесконечное число изменяется от подобного прибавления к нему конечного числа). Только обратное действие, именно прибавление бесконечного числа к конечному, когда сначала полагается конечное число, вызывает уничтожение последнего, не приводя к модификации первого. Эта правильная точка зрения ... должна была бы вызвать новые идеи не только в анализе, но и в других науках, особенно в естествознании.” [1, 73].

Некоммутативность сложения актуально бесконечных чисел не носит характер частного, изолированного следствия используемых физических постулатов или математических аксиом. Это новое необычное свойство находится в глубокой внутренней взаимосвязи с сущностью создаваемой постнеклассической научной методологии, отвечающей положительно–диалектическому уровню познания. С полной уверенностью следует признать, что нарушение коммутативности сложения в теории типов есть закономерное проявление диалектики бесконечного (а в общем смысле – диалектики числа). Именно в такой математической форме Кантору удалось формально выразить то, что результат действий с актуально бесконечными числами зависит от того, какое именно содержание (аспект) формализуемой операции принимается нами во внимание в той или иной конкретной ситуации. Реальное сочетание в трансфинитном свойств конечного и бесконечного потребовало соответствующей корректировки применяемой логики: однозначный линейный дихотомический подход (по принципу “или – или”) заменяется более общим, неоднозначным (логическая трихотомия “и – и”). На этом уровне понимания уже невозможно без уточнения сути выполняемой процедуры прийти к определенному результату. Предложенный Кантором способ формализации этой логики через порядок записи слагаемых замечателен тем, что по существу показывает принципиальную возможность сохранения традиционных математических процедур (основанных на обычной логике) в области описания явлений, явно выходящих за рамки линейной аристотелевской логики.

Другим примером возникающих при изучении свойств трансфинитного формально–логических парадоксов является то, что трансфинитное число w можно “рассматривать и как четное, и как нечетное число. С другой же точки зрения ... можно было бы сказать, что w не есть ни четное, ни нечетное число” [1, 77]. Этот вывод еще более ярко, чем некоммутативность сложения, демонстрирует нарушение закона исключенного третьего, его замену внешне противоречивым логическим принципом типа “и то, и другое”. Подобная неоднозначная логика, будучи буквально примененной в конкретной ситуации, привела бы к неопределенным или противоречивым результатам, лишая соответствующие модели и теории какой–либо практической познавательной ценности. Поэтому область применения неаристотелевской логики (в частности, принципа “и – и”) неизбежно является ограниченной, несмотря на то, что эта логика служит для отображения наиболее общих свойств действительности. Ограниченность проявляется при переходе от общего к частному, от реального к идеальному, в результате которого многообразие свойств отображаемой реальности сужается и в пределе выражается в однозначных абстрактных терминах тех или иных классических идеальных понятий. Тем самым совершается плавный предельный переход от положительно–диалектического уровня представлений о реальности через отрицательно–диалектический к классическому метафизическому уровню. Если для последнего важнейшим методологическим требованием является абсолютная определенность, однозначность (линейность) суждений, то второй допускает борьбу противоположных качеств и тем самым ставит результат рассуждений в зависимость от “баланса сил” противоборствующих тенденций. Это проявляется в развитиии все более усложняющихся нелинейных моделей реальности, а определенный результат в ряде случаев оказывается принципиально непредсказуемым. Этот второй уровень характерен в целом для современного неклассического этапа развития науки. К данному уровню принадлежит и знаменитый принцип дополнительности. От положительно–диалектического уровня его отделяет именно идея о взаимной дополнительности описания противоположных свойств единого объекта. Положительно–диалектический уровень предполагает не механистическое соединение совершенно различных свойств, но связан с признанием их органического единства, то есть существования такого общего свойства, которое бы в том или ином конкретном предельном случае сводилось бы к своей определенной частной стороне.

Возвращаясь к указанному сочетанию в c свойств актуальной бесконечности и актуального нуля, заметим, что оно наводит на предположение о возможной универсальности подобного сочетания противоположных характеристик инвариантных величин. Не исключено, что и другие физические величины, например, l_pl, t_pl, являющиеся актуальными нулями в соответствующих множествах, должны в определенном отношении проявлять свойства актуальной бесконечности. Доказать данное эвристичное предположение средствами классической математики и логики, по–видимому, невозможно, в частности, в силу неразработанности принципиальных подходов, позволяющих объединять в одном объекте противоположные свойства. В то же время, не вызывает сомнений, что с методологической точки зрения данная гипотеза не выглядит безосновательной уже благодаря ее глубокому соответствию духу диалектики. По сути дела она расшифровывает физико–математический аспект онтологического содержания закона единства противоположностей применительно к данной ситуации. Подобное понимание единства противоположных характеристик включает не только наличие взаимосвязи, но и наличие взаимопереходов, взаимопроникновения и отождествления противоположностей.

Можно привести следующее логическое обоснование высказанного предположения. В силу того, что актуальные нуль и бесконечность с необходимостью (и по определению) являются инвариантными элементами заданного множества, они должны относиться к одному и тому же физическому объекту, процессу, характеризуя его с различных углов зрения. В противном случае, если актуальные нуль и бесконечность не отождествляются в одном объекте, в теориях существовало бы два различных объекта, каждый со своим инвариантным  значением определенной физической величины. Как нетрудно убедиться, в этом случае из комбинаций инвариантных величин можно было бы в нарушение исходного предположения получить сколь угодно большое количество новых инвариантных величин. Например, если предположить существование актуально бесконечно протяженного в пространстве и во времени объекта (l_max, t_max) наряду с отличным от него минимальным материальным объектом (0 < l_min < l_max, 0 < t_min < t_max), то можно определить инвариантные скорости: v₁ = l_min/t_min, v₂ = l_max/t_max, v₃ = l_max/t_min, v₄ = l_min/t_max. Комбинируя далее полученные инвариантные величины: v₃ t_max = l₃, v₄ t_min = l₄, приходим к выводу, что наряду с l_min и l_max  следует признать наличие еще двух инвариантных значений длины l₃ > l_max и l₄ < l_min. И так далее. Подобное следствие силой логики вынуждало бы нас вообще отказаться от актуальности существования объектов с инвариантными свойствами либо считать инвариантные значения равными 0 и . Это противоречило бы исходной теоретической посылке об актуальном существовании конечных нулей (или бесконечностей) в рассматриваемых множествах физических величин.

Заметим, что приведенное доказательство (от противного) переводит нашу гипотезу в разряд строгих результатов лишь при условии, что в заданном множестве наряду с актуальным нулем имеется и актуальная бесконечность. Само по себе это условие является предположением, распространенным пока не на все множества физических величин. В частности, в современных теориях наличествуют понятия максимальных импульса и скорости, но отсутствуют актуально бесконечные длина, промежуток времени и др. Подтвердить правильность этого предположения на сегодня можно, по–видимому, лишь на уровне общих законов диалектики. Например, закон перехода количественных изменений в качественные не выполнялся бы в полной мере, если бы не существовало качественно выделенных конечных величин, ограничивающих снизу и сверху множество значений той или иной физической величины. На наш взгляд, идея о существовании актуальной бесконечности в актуальном нуле (и актуального нуля в актуальной бесконечности) заслуживает внимания, поскольку может явиться одним из фундаментальных методологических ориентиров (принципов) при разработке основ постнеклассической науки.

Один из аспектов единства понятий актуальных нуля и бесконечности заключается в том, что возможность обоснованного введения в физические теории как первого, так и второго базируется на одной и той же системе фундаментальных физических и математических представлений. Из настоящей работы, а также из предшествующих результатов [8] явствует, что принятие постулата о существовании фундаментальной длины, то есть актуального (конечного) нуля множества всех длин обусловливает существование не только инвариантной (то есть абсолютной) актуально бесконечной величины c, но и бесконечного множества трансфинитных (то есть относительных актуально бесконечных) величин vⁱ_max. Верно и обратное. Предполагая ограниченность актуально бесконечного множества какой–либо физической величины, например, массы покоя элементарных частиц, получим, согласно релятивистской квантовой механике, вывод о существовании “квантов” времени и длины. Замечательным образом это генетическое единство понятий актуальных нуля и бесконечности проявляется в работах Г.Кантора, причем, можно сказать, вопреки его собственной воле. Речь идет о следующей теореме: “Не существует отличных от нуля линейных числовых величин (то есть, короче говоря, таких числовых величин, которые можно представить в образе ограниченных непрерывных прямолинейных отрезков), которые были бы меньше сколь угодно малой конечной числовой величины, то есть такие величины противоречат понятию линейной числовой величины... Факт существования актуально бесконечных чисел не только не является основанием для существования актуально бесконечно малых величин, но, скорее, как раз с помощью первых доказывается невозможность последних” [1, 294 – 295]. В отношении этой теоремы Г.Кантора редактор перевода справедливо отмечает, что “несуществование “актуально бесконечно малых величин” нельзя доказать в такой же мере, в какой и несуществование канторовских трансфинитов, и в обоих случаях ошибка одна и та же – приписывание новым величинам некоторых свойств обычных “конечных” величин, которыми они не могут обладать. Речь здесь идет о так называемой “неархимедовой” числовой системе, соответственно о “неархимедовом” поле, существование которого сегодня можно считать безупречно доказанным. ... Вместе с “архимедовой аксиомой” одновременно падает и “аксиома непрерывности”... Тем, что Кантор предполагает справедливой аксиому непрерывности, он фактически исключает все неархимедовы числовые системы, но ничего не доказывает против существования таких “упорядоченных полей”, в которых не выполняется ни архимедова аксиома, ни аксиома непрерывности” [1, 324 – 325].

Именно предположение о непрерывности заставляет Кантора обсуждать идею актуально бесконечно малого, сохраняя классическое понятие нуля и представляя актуально бесконечно малую величину “в образе ограниченных непрерывных прямолинейных отрезков”. Неудивительно, что Кантору легко удается показать пртиворечивость подобной конструкции. На наш взгляд, актуально бесконечно малой числовой величине следует сопоставить образ актуального (конечного) нуля множества. Данная величина, с одной стороны, выражается конечным числом, но в то же время является минимальным инвариантным элементом числового множества, то есть обладает важнейшими свойствами нуля. Подобные величины в силу своей качественной специфики непредставимы в образе “непрерывного ограниченного отрезка”, поскольку для этого отрезка невозможно было бы указать ограничиваемое им множество, различить его границы и т. п. [8]. Множества с актуальным нулем не являются в строгом смысле слова ни непрерывными, ни дискретными. Обе эти противоположности проявляются лишь как различные идеализации: первая предполагает абстрагирование от присущих актуальному нулю свойств конечной величины, вторая – от его инвариантности и минимальности. Иначе говоря, прерывное и беспрерывное соединяются (в духе учения Платона) в определенном числе, которое несет в себе противоречие предельного и беспредельного, конечного и бесконечного.

На необходимость подобного реформирования числового множества впервые указал, по–видимому, П.К.Рашевский: “... сколь угодно точные рациональные приближения вещественных чисел возможны именно потому, что мы пользуемся обычным натуральным рядом, элементы которого определены абсолютно точно, сколь далеко мы ни зашли бы. Но ... возрастающая размытость его элементов ... передается и дробям с большими знаменателями, и мы доходим до оптимальной возможной точности в оценке (реформированных) вещественных чисел, может быть, раньше, чем знаменатель успевает “устремиться к бесконечности” [20]. Тем самым, очевидно, существуют и чисто математические основания для признания идеи единства актуального нуля и абсолютной актуальной бесконечности как противоположных моментов, фиксируемых сознанием на общей концептуальной базе. Эти понятия не просто дополнительны, но взаимосвязаны, они уже не существуют и даже не могут быть непротиворечиво помыслены одно без другого.

Можно сделать вывод, что “всякая потенциальная бесконечность, которую желают использовать строго математически, предполагает наличие актуальной бесконечности” [1, 297], и в то же время актуальная бесконечность включает в себя потенциальность в качестве своего момента. Этот вывод можно повторить, заменив актуальную бесконечность актуальным нулем, поскольку выше была показана генетическая взаимосвязь этих понятий.

Понятия актуального нуля и актуальной бесконечности важны не только в математике и физике, они оказывают влияние и на решение общефилософских мировоззренческих вопросов. С одной стороны, используя представления об актуально бесконечном, можно вслед за Кантором совершенно определенно признать познаваемость бесконечности. Ведь хотя мы и привыкли говорить о “конечности” нашего разума, на самом деле, несмотря на ограниченность человеческой природы, “к ней все–таки прилипло очень многое от бесконечного” [2]. С другой стороны, актуальная бесконечность реального мира в принципе позволяет познавать мир как “конечное” целое, сразу весь целиком, не проходя потенциально бесконечный путь изучения и обобщения деталей, элементов реальности. Подобно конечности мира в большом, конечность в малом также создает предпосылки для познания реальности сразу во всем “свернутом” многообразии ее свойств. Признание аспекта актуальности бесконечно малого в природе позволяет развивать определенные представления о наиболее фундаментальных общих закономерностях, характерных для вещественного и полевого видов материи. Эти общие сведения могут использоваться в том числе и для обоснования и уточнения направлений исследований в физике высоких энергий, математике и в других фундаментальных разделах науки. Например, знание точных асимптотик физических величин на ультрамалых расстояниях создает совершенно новую ситуацию в теоретической физике. Открывающиеся при этом возможности следует еще подробно изучить, но для нас уже очевидно, что новые представления (в частности – о бесконечном) подготавливают революционный прорыв к постнеклассическому этапу развития науки, связанному, в первую очередь, с целостным (положительно–диалектическим) уровнем восприятия и отображения реальности и, соответственно, с принципиально новыми научной логикой и методологией построения теорий [23].

В заключение подчеркнем, что обосновываемая теорией порядковых типов концепция актуально бесконечного не выходит за рамки континуальных представлений и архимедовой арифметики. Как следствие, непосредственное применение выводов теории типов к традиционным физико–математическим моделям реальности оказывается проблематичным. Причем основная трудность связана с отсутствием признанных физических оснований для объективного качественного различения бесконечных подмножеств той или иной физической величины. Отмеченная Кантором принципиальная связь иррациональных чисел с пределами трансфинитных последовательностей рациональных чисел сама по себе этой проблемы не решает, но лишь дает намек на верный подход к пониманию онтологического содержания и места актуальной бесконечности. Лишь обоснованное включение в неклассическую физическую картину мира аспекта дискретности (то есть параметра нелокальности) позволяет обнаружить и логически обосновать онтологическое содержание концепции трансфинитного во всем ее стройном объеме и со всеми логическими следствиями. Более того, данный подход не только позволяет найти поле и сформулировать условия приложения идей существующей математической теории к реальности, но и обладает конструктивным потенциалом, задавая определенные методологические ориентиры для перехода к обобщенной теории множеств, более полно отвечающей потребностям, связанным с описанием реального мира.

* Трансфинитной последовательностью элементов данного множества C, согласно [17], является отображение некоторого полуинтервала порядковых трансфинитных чисел [1; b ) (где b – трансфинитное целое число) в множество C, а элементом трансфинитной последовательности называется упорядоченная пара (w, x), которая обозначается через x_w, где x О X, w О [1; b].

Литература

1. Кантор Г. Труды по теории множеств. М., Наука, 1985.

2. Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. М.: Наука, 1987.

3. Панченко А.И. Континуум и физика. М., Наука, 1975.

4. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М.: Наука, 1983.

5. Гильберт Д. О бесконечном // В кн.: Гильберт Д. Основания геометрии. М. – Л., 1948, C. 348.

6. Рвачев В.Л. Неархимедова арифметика и другие конструктивные средства математики, основанные на идеях специальной теории относительности // Доклады АН СССР. 1991. Т. 316. № 4. С. 884 – 889.

7. Корухов В.В. Новая модель арифметики с минимальным числом и тахионная теория относительности // Физика в конце столетия: теория и методология. Новосибирск, Изд–е ИФиПр СО РАН, 1994. С. 42 – 45.

8. Корухов В.В., Шарыпов О.В. О возможности объединения свойств инвариантного покоя и относительного движения на основе новой модели пространства с минимальной длиной // Философия науки. 1995. № 1(1). C. 38 – 49. (Новосибирск: Изд. НИИ МИОО НГУ, 1995)

9. Шарыпов О.В. О формировании новой физической картины мира на основе планкеонной гипотезы // Философия науки. 1995. № 1(1). С. 50 – 57. (Новосибирск: Изд. НИИ МИОО НГУ, 1995)

10. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 1. М.: Наука, 1965.

11. Корухов В.В. О природе фундаментальных констант // Методологические основы разработки и реализации комплексной программы развития региона. Новосибирск: Наука, 1988. С. 59 – 74.

12. Корухов В.В. Некоторые аспекты космологии ранней Вселенной // Единство физики. Новосибирск: Наука. 1993. С. 214 – 225.

13. Корухов В.В., Шарыпов О.В. Место физического пространства в системе взаимосвязей материального мира // Гуманитарные науки в Сибири. 1996. № 1. (в печати).

14. Симанов А.Л. Постнеклассическая наука: новая математика и новая методология // Гуманитарные науки в Сибири. 1995. № 2. С. 77 – 82.

15. Шарыпов О.В. Об особенностях формирования методологии космомикрофизики на основе планкеонной концепции // Философия науки. 1996 (в печати).

16. Корухов В.В. К проблеме фундаментальной длины // Физика в конце столетия: теория и методология. Новосибирск, изд–ие ИФиПр СО РАН, 1994. С. 33 – 36.

17. Математическая энциклопедия. Гл. ред. И.М.Виноградов, Т. 5. М.: Советская энциклопедия, 1984. С. 422.

18. Вяльцев А.Н. Дискретное пространство–время. М., Наука, 1965.

19. Петров Ю.А. Проблемы логического отображения движения // Пространство, время, движение. М.: Наука, 1971. С. 595 – 618.

20. Рашевский П.К. О догмате натурального ряда // Успехи математических наук. 1973. Т. 28. Вып. 4(172). С. 243 – 246.

21. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Ренормгруппа? Это очень просто // Природа. 1984. № 8. С. 3 – 13.

22. Ландау Л., Померанчук И. О точечном взаимодействии в квантовой электродинамике // Доклады АН СССР. 1955. Т. 102. № 3. С. 489 – 492.

23. Симанов А.Л. Методологические и теоретические проблемы неклассической физики // Гуманитарные науки в Сибири. 1994. № 1. С. 9 – 14.

Институт философии и права,
Институт теплофизики
Сибирское отделения РАН,
г. Новосибирск