ДИНАМИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ИНЕРЦИАЛЬНОГО
И НЕИНЕРЦИАЛЬНОГО СОСТОЯНИЙ
Б.И. Пещевицкий
Как известно, классическая механика во второй половине
прошлого столетия подвергалась серьезной критике. В первой половине ХХ в.
появились два новых раздела естествознания – релятивизм и квантовая
(волновая) механика. Освоение этих разделов отвлекло от
несовершенств классической механики, о них забылось, и они так и остались
неуточненными. Однако время от времени об этом вспоминалось. Так, в
1938 г. Эйнштейн и Инфельд в своей монографии “Эволюция физики” отмечали:
“... Мы знаем законы, но не знаем, каково то тело отсчета, к которому
следует их отнести, и все наше физическое построение оказывается возведенным на
песке ...” [1]. В 1971 г. Мэрион писал, что Ньютону удалось
построить классическую механику “... за счет глубокой интуиции...
несмотря на шаткость ее логического обоснования” [2].
Классическая механика, как известно, строится на трех
законах (аксиомах, по Бухгольцу [3]. Первый из них посвящен определению
естественного, свободного движения тел – принципу инерции. Прежде
чем его рассматривать, напомним, что механическое движение есть изменение
взаимного расположения тел в мире. Поэтому в механическом движении (как
природном явлении) должно участвовать, как минимум, два тела
(объекта). Одно тело явление движения создать не в состоянии. В этом смысле покой
или движение одного тела всегда относительны. Количественное же описание
требует умения измерять расстояние между телами. При этом для создания
измерительного стержня придется использовать много разных тел.
С целью описания движения данного тела Декарт ввел пространственные
координаты, которые играют роль второго объекта. Введение ортогональных
координат привело к векторному описанию и необходимости независимого
рассмотрения движения по каждой из трех пространственных осей.
Принцип относительности движения был
найден еще Галилеем [4], но только к концу прошлого столетия это положение
получило математическое отображение в описании взаимного движения тел
через преобразования координат:
x¢ = x – Vх t ;
t¢ = t. (1)
Здесь имеются в виду системы координат К (х,
t) и К¢ ( x¢, t¢ ),
размещенные на двух взаимно движущихся линейно со скоростью Vх
телах, т.е. у' = у и z'
= z.
Рассмотрим рис. 1, позицию (а). Пусть система
отсчета К расположена на теле № 1; пусть система К¢ размещена
на теле № 2. Так как в собственной системе отсчета тело всегда в покое,
любая точка тела № 2, покоясь в системе К¢ (х' =
const), будет двигаться относительно тела № 1 – двигаться в
координатах К (х = f(t)). Наоборот, любая точка
тела № 1, покоясь в координатах К (х = const), будет
находиться в движении относительно системы К¢, т.е. х' = f'(t').
Это приводит к относительности – неоднозначности кинематических
характеристик (движения или покоя) для рассматриваемого тела. Однако
именно отсюда возникает простейшая задача на движение – задача двух тел,
которая в механике считается точно и строго решенной во всех отношениях.
Условимся, что будем рассматривать тела, для которых
можно пренебречь их гравитационным взаимодействием ввиду его малости, – пробные
тела. Включим в рассмотрение некоторые свойства тел: их размер, форму, их
инертные и упругие свойства. Будем употреблять термин “тело” в случаях,
когда тело рассматривается как единое целое. Когда же оно будет
рассматриваться состоящим из частей, будем пользоваться термином “механическая
система” или просто “система”.
Пользуясь терминологией современного естествознания
[5], можно сказать, что в классической механике рассматривается два вида
динамических состояний тел: 1) инерциальное, свободное состояние,
когда на тело не оказывается никаких внешних воздействий; 2) неинерциальное,
“вынужденное” состояние, когда тело находится под воздействием внешних сил.
Первый закон – закон инерции – в этих терминах будет читаться
так: всякое свободное тело будет пребывать в инерциальном состоянии.
В качестве кинематических критериев
инерциального состояния до сих пор приняты взаимный покой или равномерно-прямолинейное
движение. Математически это выражается через
v = V В0 = const, (2)
в том числе и при V = 0. Здесь V – норма
вектора v; B0 –
единичный вектор.
Любое внешнее вмешательство приводит к изменению либо V,
либо B0, либо обеих величин вместе. Это происходит под
воздействием внешней силы:
F
¹ 0 – (3)
также
векторной величины.
Таким образом, сила вызывает неинерциальное состояние,
признаком которого является ускоренное движение, т.е. (по Ньютону): сила
есть причина ускорения. Это приводит к динамическому критерию
инерциального состояния: система инерциальна, если она не испытывает
действия внешних сил.
Проанализируем, достаточно ли кинематического и такого
динамического критериев для выявления инерциального состояния на теле.
Пусть теперь к телу № 1
и к телу № 2 будет приложено по одинаковой внешней силе (рис. 1 б). Оба тела окажутся в неинерциальном состоянии как тела, испытывающие внешнее силовое воздействие.
Каковы же будут взаимные кинематические характеристики таких тел? Ответ на этот
вопрос совсем не сложен: тела окажутся во
взаимном покое (в случае одновременного приложения сил) или равномерном прямолинейном движении (при
разновременном приложении сил). Иными словами, мы приходим к логическому
противоречию: в случае, представленном на рис. 1 б, по общеупотребительному кинематическому критерию инерциального
состояния, мы должны отнести движение этих тел к “движению в инерциальном
состоянии”. Однако это оказывается в противоречии с динамическим критерием, по
которому системы, испытывающие действие внешних сил, неинерциальны.
Рис. 1. Кинематическая тождественность взаимного движения тел.
Из этого примера видно, что
указанных выше критериев инерциального состояния для однозначного описания движений тел явно недостаточно. Для решения
задачи необходимо выяснить, в чем заключаются физические различия в
состояниях тел между случаем, отображенным на рис. 1 а, и случаем, отображенным на рис. 1 б.
Перейдем к рассмотрению
позиции на рис. 1 в.
Предположим, что тела находятся во взаимном неравномерном
движении с ускорением “а”. Из-за относительности движения оба тела в координатах друг друга будут
двигаться ускоренно. Иными словами,
на основании этого кинематического критерия мы не сможем сказать, на которое же
из двух тел действует внешняя сила. Более того, взаимное ускоренное движение
этих тел может быть результатом не только действия силы на одно из тел (при этом другое
тело окажется в инерциальном состоянии). Силы могут действовать на оба тела, лишь бы эти силы были не одинаковы по величине или
направлению.
В то же время, как хорошо
известно, законы классической механики в ньютоновской формулировке верны только
при рассмотрении движений в инерциальных системах
отсчета. Это сделать невозможно до тех пор, пока не найден однозначный критерий инерциального состояния [6]. Следовательно, и
в данном случае вопрос упирается в ту же, указанную выше, проблему. Именно в
этом заключается серьезное упущение в современной аксиоматике классической
механики, так как принятые в ней чисто кинематические
критерии в принципе не позволяют
решить обозначенную задачу. Такие критерии неоднозначны
“с порога”.
Чтобы решить поставленную
задачу, вспомним, какие эффекты вызывает действие внешней силы. Приложение
внешней силы (за счет взаимодействия с другим телом) к ранее покоящемуся в
инерциальной системе отсчета влечет за собой:
1) ускоренное движение тела;
2) изменение его импульса (p = mv,
где т – масса тела) за счет
обмена со взаимодействующим телом (закон сохранения количества движения); F = dр/dt;
3) изменение кинетической энергии (Е)
тела:
dЕ = d(mV 2 / 2) – (4)
за счет перераспределения ее
со взаимодействующим телом (закон сохранения энергии). При этом
F = dЕ/dx(t); (5)
4) изменение геометрической
формы взаимодействующих тел при непосредственном их соприкосновении. Тела деформируются. При упругой деформации D (D = l – l0,
где l0 и l – длина тела в расслабленном и
деформированном состояниях) величина деформации для цилиндрического твердого
тела, по закону Гука, прямо пропорциональна,
в идеальном приближении, величине действующей силы:
F
= k D. (6)
Иными словами, в статике сила есть причина деформации.
Отметим, что из четырех перечисленных
эффектов, возникающих в результате действия внешней силы, первые три так или
иначе связаны с изменением кинематической
характеристики (изменением скорости) и только в четвертом случае действие силы
вызывает “некинематический” эффект, т.е. эффект, не зависящий от того, в каком
движении или покое рассматриваемое тело участвует.
Чтобы ответить на вопрос,
каким же будет физическое состояние
на такой механической системе, пойдем по пути Галилея [7], т.е. рассмотрим физическую
ситуацию внутри некоторой части механической системы, которая аналогична “трюму
корабля” Галилея.
Представим себе бокс
(“пробной массы”), в котором свободно
находится пробное тело в безразличном по отношению к стенкам бокса положении,
как, скажем, в первом приближении, на станции “Мир” (рис. 2 а). На боксе в таком состоянии все три
пространственных направления физически ничем не отличаются друг от друга. Кроме
того, для любой пространственной точки в конкретном пространственном
направлении мы также не найдем каких-либо физических различий. “Местное пространство”
внутри рассматриваемого бокса будет по всем направлениям однородно и
изотропно – бокс будет пребывать в состоянии
невесомости [8].
Пусть механическая система,
изображенная на рис. 2 а
покоится в некоторой системе отсчета. Приложим к торцу бокса некоторую силу F. Отметим, что сила как вектор
отображается в виде стрелки. Подразумевается, что сила приложена ко всей нормальной поверхности бокса. Под
стрелкой будем понимать не только вектор
воздействия, но и “эквивалент” действующего на бокс тела.
При действии на стенку бокса
внешней силы тело (механически не связанное с боксом) останется в той же пространственной
точке, что и до ее действия. Бокс же под действием силы получит смещение с
ускорением, обозначенным как w (рис.
2 б).
Рис. 2. Рождение весомого состояния.
Иными словами, внутри бокса
тело приобретет (относительно бокса) тенденцию ускоренно двигаться к торцевой стенке бокса, на которую действует
внешняя сила (обозначим такое ускорение через g). Так будет до тех пор,
пока тело не упрется в стенку. При этом тенденция продолжать ускоренно двигаться
(относительно бокса) у тела сохранится, если сила будет продолжать толкать
бокс. Достигнув стенки бокса, оно, сопротивляясь воздействию на него со стороны
стенки, будет давить на эту стенку за счет своей инерции (рис. 2 в).
Проявится качество, которое давно именуется как “вес тела” Р (эта сила на рис. 2 не показана, так как изображено само тело). В
конечном итоге наступит стационарное (равновесное) весомое состояние [9].
Начиная с позиции 2 в и далее (позиция 2 г) ускорение всей системы станет меньше,
чем в позиции 2 б, так как
теперь сила будет приложена к системе бокс – тело. Вся система будет
продолжать двигаться ускоренно в
весомом состоянии, в деформированном состоянии. В случае, когда масса тела
много больше массы бокса, Р = -F.
Таким образом, при действии
внешней силы на теле возникает весомое состояние [10],
т.е. вес – это свойство, которое возникает, как следствие взаимодействия тел. Поэтому тело любой
массы может, в принципе, иметь вес в пределах от 0 до ¥ в зависимости от величины
внешнего воздействия.
Чем же характеризуется
весомое состояние? В общем случае на упругое твердое тело может действовать несколько
сил разного направления, приложенных к разным участкам тела. Здесь возможны два
принципиально различающихся варианта (рис. 3): случай а, когда векторная сумма всех сил равна нулю, SF = 0, и случай б, когда векторная сумма всех сил не равна нулю, SF ¹ 0.
В целях упрощения будем
рассматривать только линейные поступательные
движения и силы, направление вектора которых пересекает центр инерции тел.
Будем избегать используемое иногда утверждение, что в случае а сила равна нулю [11], – наличие деформаций этому
противоречит. Как в случае а, так и в случае б тела могут быть и в покое, и в движении. Это зависит лишь от систем
отсчета, в которых они рассматриваются.
Как известно, в классической
механике существует “третий закон механики”: действие равно противодействию. Фактически, это отражение принципа механического равновесия, когда
dD/dt = 0. (7)
Простейшим примером случая а является сжатие (растяжение)
цилиндрического тела одинаковыми силами, приложенными к торцам цилиндра навстречу
друг другу. Назовем такое силовое воздействие статическим. При этом внутри тела возникнут однородные внутренние напряжения sп – одинаковые
по всей длине цилиндра. В этом нетрудно убедиться, разрезав цилиндр на
несколько равных дисков и поместив между ними одинаковые невесомые пружины (см.
рис. 3 а). Реальный пример –
тело, зажатое в тисах.
Рис. 3. Статическое а и динамическое б действие сил.
Для случая а деформации пружин
одинаковы; для случая б величины
деформаций соответствуют отношению 3:2:1.
Частным (но важным!) случаем
такого состояния будет состояние и в отсутствии
внешних сил, когда пружины расслаблены и деформации D = 0.
Когда приложенные силы не
одинаковы, ранее покоящееся тело приобретет ускоренное
движение – случай б.
Простейшим примером случая б является действие одной силы, приложенной к основанию цилиндра. Здесь внутренние
напряжения sп в цилиндре окажутся неоднородными, разными по длине тела – от максимальных у его основания до
нулевых на противоположном торце (см. рис. 3 б). В таком состоянии (по вертикали) находятся все покоящиеся на
Земле (но движущиеся, скажем, относительно Солнца или Юпитера) системы. Силу
для случая б будем называть ускоряющей внешней силой. Однако и в
этом случае осуществляется (что очень важно!) механическое равновесие (7) на любом
сечении цилиндра. Это происходит за
счет равенства противоположно направленных в данном сечении внутренних
напряжений: от внешней, динамической силы и от возникающей силы реакции (из-за наличия у тел свойств инерции и упругости). Эти силы приложены к разным частям данного тела или к
разным телам.
Пронумеруем (слева направо)
на рис. 3 б диски с первого по
четвертый и пружины – с первой по третью. Пружины будут сжаты встречными
силами: первая – в (3/4)F, вторая – в F/2, третья – в F/4.
На диски будут действовать силы (F –
3F/4), (3F/4 – F/2), (F/2 – F/4), (F/4 – 0)
соответственно. Иначе говоря, на каждый одинаковый диск (элемент тела)
действует по одинаковой ускоряющей силе в F/4. Если мысленно разделить тело на п одинаковых элементов, каждый из них будет ускоряться одинаковой
силой в F/п. Кроме того, “ускоряющая” сила
оказывается прямо пропорциональной массе элемента (на 4-й элемент действует
сила F/4, на 3-й и 4-й в
сумме – сила, в 2 раза большая и т.д.), т.е. часть (или частица) тела любой
массы приобретает одинаковое ускорение.
Это – обязательное условие для сохранения механической целостности тела и важнейшая
характеристика “ускоряющей” силы
любого происхождения.
Итак, различие между
случаями а и б состоит в том, что для системы
отсчета, связанной с телом в инерциальном состоянии, силовые воздействия
характеризуются однородными деформациями
(случай а), что никак не сказывается
на характере движения. В случае же неинерциальной
системы отсчета (случае б)
деформации неоднородны, и такое воздействие
определяет кинематику и динамику движения тел. Именно эти различия в характере
деформаций и позволяют установить, инерциальна ли или неинерциальна данная
система.
Таким образом, критерием
инерциального состояния не может служить ни кинематический критерий, ни используемый
ныне ньютоновский динамический критерий, если при этом речь идет о любых
внешних силах, действующих на систему. Однозначным
динамическим критерием неинерциального состояния является наличие в системе неоднородных деформаций [12].
Итак, в общем виде закон
инерции остается тем же: всякое тело будет пребывать в инерциальном состоянии,
пока и поскольку оно не будет выведено “ускоряющей” силой из этого состояния.
При этом: 1) инерциальное состояние
на теле характеризуется равноправностью всех трех пространственных направлений
и наличием однородных деформаций или их отсутствием; 2) неинерциальное состояние как результат
действия на тело “ускоряющей” силы сопровождается возникновением неоднородных
деформаций.
К сказанному необходимо
добавить следующее. Использование при изложении механики кинематического критерия
инерциальности связано, очевидно, с аппроксимацией тел в виде материальных
точек. Это упрощает решение ряда задач, но исключает возможность существования однозначного динамического критерия, так как о динамическом состоянии
внутри точки говорить не приходится.
Фактически мы получаем описание взаимных движений центров тяжести, центров инерции тел. Этот стиль
изложения механики сохранился вплоть до наших дней [13]. И хотя в популярных изданиях
физическая ситуация на неинерциальных системах неоднократно рассматривалась
[14], в аксиоматику классической механики это не включено до сих пор.
Воздействие же на
механическую систему “ускоряющей” силы вызывает на ней целый ряд эффектов. Так,
на системе возникает “избранное” пространственное направление (в направлении
силы). Появляется возможность ввести понятия “верх” и “низ”, “вертикаль” и
“горизонталь”. В этом направлении все механически не закрепленные предметы
будут сами по себе ускоренно “падать” сверху вниз, или, в случае для закрытого
помещения, с “потолка” на “пол”. Любые части системы и находящиеся на опорах
предметы будут обладать весом (по вертикали). В этом “избранном” направлении
находящиеся на опорах предметы и вся система будут испытывать, как уже сказано,
неоднородную деформацию (см. рис.
3 б). Если некоторый объем будет
заполнен газом или жидкостью, то предметы легче этих сред будут вертикально
всплывать в таком объеме по закону Архимеда. Перемещение предмета по вертикали
вверх потребует затраты энергии. Приподнятый предмет будет обладать запасом потенциальной энергии. При перемещении
вниз он сам будет способен совершить работу. Иными словами, в этом направлении
пространственные точки будут физически не эквивалентны: находящиеся в них тела
будут различаться запасом потенциальной энергии.
Под термином “весомое состояние” и будем понимать
наличие на системе всей суммы перечисленных эффектов. Именно в этом проявляется
суть действия “ускоряющей” силы. В
двух других, ортогональных к избранному, направлениях этих эффектов наблюдаться
не будет.
* * *
Некоторые детали данной
работы изложены в [15].
В заключение автор выражает
благодарность сотрудникам СО РАН Ю.И. Наберухину, А.Л. Симанову и В.В.
Корухову за многочисленные обсуждения предварительных вариантов данной статьи и
ценные замечания.
Примечания
[1] Эйнштейн А. Собрание научных трудов. – М.: Наука, 1967. –
Т.4. – С.490.
[2] Мэрион Дж.Б. Физика и физический мир. – М.: Мир, 1975. –
С.137.
[3] Бухгольц Н.Н. Теоретическая механика. – М.: Наука,
1965. – Ч. 1. – С.7–9, 171–173.
[4] Галилей Г. Избранные труды. – М.: Наука, 1964. –
Т. 1.
[5] Симанов А.Л. Понятие
“состояние” как философская категория. – Новосибирск: Наука, 1982.
[6] Именно это имели в виду
Эйнштейн и Инфельд в приведенной выше фразе.
[7] Галилей Г. Избранные труды. – Т. 1.
[8] Сивухин Д.В. Общий курс физики: Механика. – 2-е изд. –
М.: Наука, 1979. – С.351. Невесомое состояние при космических путешествиях
по инерции образно описал Перельман, начиная с первых изданий своей “Занимательной
физики” (см.: Перельман Я.И. Занимательная
физика. – 17-е изд. – М.: Наука, 1965. – Т. 1. –
С.42–44).
[9] На это потребуется
некоторое время для рассеяния в виде тепла и пластических деформаций
накопленной телом (относительно бокса) кинетической энергии.
[10] Те, кому не нравятся
наименования “весомость” и “невесомость”, могут использовать термины: состояние а и состояние б.
[11] Бердинский Е.П. Основы полной теории сил классической механики //
Новые идеи в естествознании: Ч.1. Физика. – СПб.: Изд-во ЦНИИМ,
1995. – С.374. (“Проблемы исследования Вселенной”. Вып.18).
[12] Разумеется, речь здесь
идет о твердых цилиндрических телах из изотропного
материала.
[13] См.: Сивухин Д.В. Общий курс физики:
Механика; Савельев И.В. Курс общей
физики. Кн. 1: Механика. – 4-е изд. – М.: Наука, 1998.
[14] Ландау Л.Д., Румер Ю.Б. Что такое теория относительности. –
М.: Сов. Россия, 1963. – С.18; Ландау Л.Д., Китайгородский А.И. Физика для всех. 1: Физические тела. – 5-е
изд. – М.: Наука, 1982. – С.63.
[15] Пещевицкий Б.И. Об основах классической механики –
Новосибирск, 1997. (Препринт Ин-та неорг. химии СО РАН). Он же. Гравитация как неоднородное пространство. –
Новосибирск, 1999. (Препринт Ин-та неорг. химии СО РАН / НО ПАНИ).
630090, Новосибирск-90,
просп. Лаврентьева, 3.
Институт неорганической
химии СО РАН