ВОЗМОЖНА ЛИ ИРРАЦИОНАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

В.В. Целищев

В обычном словоупотреблении понятия рациональности и математики связаны воедино, потому что именно математические аргументы представляются образцом рационального рассуждения. Однако в специфически философском значении термин “рациональность” характеризует определенные структуры человеческого языка и поведения. Исходя уже из этого технического значения термина вполне законно задать вопрос о рациональности принятия тех или иных математических утверждений, хотя с первого взгляда сама постановка вопроса кажется несколько нарочитой. Тем не менее существуют обстоятельства, которые делают такой вопрос вполне естественным. Так, исследование ряда проблем в основаниях математики затрагивает вопрос о выразимости математических концепций в языке, что приводит к увязке этих проблем с проблемами философии языка в рамках теории указания и значения. Между тем проблемы указания и значения напрямую связаны с пониманием процессов употребления языка, где критерии рациональности играют основную роль. В подтверждение этого тезиса можно сослаться на то, что Х.Патнэм, например, полагает парадокс Левенгейма – Сколема антиномией не формальной логики, как это принято считать, а скорее, антиномией в философии языка [1].

Существует соображение и другого рода. Понятие рациональности является типично философским, и отождествлению этого понятия с математической практикой способствовало то историческое обстоятельство, что философия долгое время формировала себя по математическому образу и подобию. Ж.К.Рота убедительно показал, что эта тенденция в значительной степени ошибочна [2]. Если он прав, то это означает, что философские критерии и математические стандарты могут быть достаточно независимыми даже в такой области, как философия математики. Именно подобного рода независимость и позволяет ставить более радикальный вопрос, какую роль в математике играет понятие рациональности и имеется ли в математике то, что можно назвать если не иррациональными, то субрациональными соображениями, т.е. посылками, которые не удовлетворяют критериям рациональности в полной степени.

Поводом для такой постановки вопроса является уже упомянутый парадокс Левенгейма – Сколема, или, как его часто называют, просто парадокс Сколема. Недавняя дискуссия по поводу этого редко в философской литературе обсуждаемого результата, в которой приняли участие П.Бенацерраф, Х.Патнэм и К.Райт, показала, что данный парадокс отнюдь не является хорошо понятым в философии математики и что его разрешение “имеет огромные следствия для великого метафизического спора о реализме, который был всегда центральным для споров в философии языка” [3].

Теорема Левенгейма – Сколема гласит, что выполнимая теория первого порядка (в счетном языке) имеет счетную модель. Согласно диагональной теореме Кантора, не существует одно-однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством действительных чисел. Если имеется некоторая версия формализованной теории чисел, то теорема принимает вид

– (ER) (R одно-однозначно. Область R Ì N. Область значений R есть S),

где N есть формальный термин для множества всех целых чисел, S – множество действительных чисел, и все три части конъюнкции имеют определение в терминах первого порядка. Формализованная теория множеств говорит, что определенное множество “S” несчетно. Поэтому теория множеств должна иметь только несчетные модели. Но это невозможно, поскольку, по теореме Левенгейма – Сколема, если теория имеет несчетную модель, она также имеет и счетную.

При введении аксиоматики (скажем, в теории множеств) математик стремится к тому, чтобы модель системы аксиом была “намеренной”. Например, аксиомы были призваны описывать несчетные множества, но по теореме Левенгейма – Сколема, среди моделей такой системы оказываются и “ненамеренные”, или нестандартные, интерпретации, в частности счетная модель. Это означает, что система аксиом, предназначенная для описания некоторого специфического класса математических объектов, не выполняет этой роли. Следовательно, математическая реальность не “схватывается” аксиоматическими системами. Аксиоматические системы, к которым применима теорема Левенгейма – Сколема, предназначаются для задания одной вполне конкретной интерпретации, и, будучи применимыми к совершенно новым моделям, они тем самым не соответствуют своему назначению.

В более технических терминах ситуация с парадоксом Сколема выглядит следующим образом. Из парадокса могут быть сделаны такие выводы:

а) поскольку первопорядковые формализации теории множеств имеют счетные модели, они не могут выразить, или “схватить”, концепцию несчетного множества;

б) поскольку невозможно “схватить”, или выразить, концепцию несчетного множества через аксиоматизацию первого порядка теории множеств, мы не обладаем такой концепцией.

Следует отметить, что формализация теоретико-множественных концепций должна осуществляться в терминах теории первого порядка. Сама применимость аргументации, основанной на теореме Левенгейма – Сколема, зависит от этого условия. Здесь не место обсуждать данное положение более подробно, хотя оно само по себе ставит большие проблемы, и поэтому дальнейшая аргументация предполагает только первопорядковую формализацию.

Типичной реакцией на парадокс Сколема явилось понятие релятивизации концепции множества в зависимости от принятой аксиоматики. Популярное представление по этому поводу состоит в том, что множество может быть счетным в одной аксиоматической схеме, а несчетным – в другой, или же что одно и то же множество может иметь разную мощность в разных аксиоматических системах. Эта точка зрения широко распространена среди представителей философии математики, в первую очередь благодаря самому Сколему. Однако мы не будем останавливаться на ней, поскольку интерес представляет как раз релятивизм более общего порядка, частным случаем которого является теоретико-множественный релятивизм.

Итак, парадокс Сколема показывает, что мы не “схватываем” интуитивное понятие множества нашими формальными системами. Возникает естественный вопрос о том, какое иное средство может дать нам экспликацию “интуитивного понятия множества”. Дело в том, что теория множеств рассматривается как описание определенной независимо существующей реальности, и если она не выполняет этой роли, значит, не существует эффективного обращения к этой реальности. Поскольку теория первого порядка в определенном смысле сама по себе представляет синтаксическую систему, видимо, необходимо обратиться к семантическим концепциям, потому что только при интерпретации можно говорить об указании на математические объекты и установлении истинности и значения математических утверждений.

Однако и чисто семантические концепции не могут разрешить проблему однозначного “схватывания” интуитивных математических концепций формализованной теорией, что следует из ограничительных теорем Геделя и Тарского. Но есть и более конкретные соображения по поводу неадекватности семантических соображений. Если для подобного “схватывания” к аксиоматической теории множеств мы добавим понимание, рассматриваемое как некоторое рациональное свойство человека, фиксированное в языке, то возникает нечто похожее на релятивизацию понятий уже в естественном языке. Дело в том, что согласно натуралистическому подходу, понимание есть не что иное, как способ употребления языка. И тогда сколемовская парадоксальность может быть перенесена на область употребления языка. Речь идет в этом случае о том, что употребление терминов формализованного языка, предусматривающее указание на объекты и фиксированное значение терминов, не гарантирует от появления нестандартных интерпретаций. В частности, Патнэм пытается доказать, что употребление языка фиксирует намеренную интерпретацию не в большей степени, чем это делает аксиоматическая теория множеств.

Этот результат может показаться странным, поскольку механизм употребления языка не должен допустить появления "дополнительных" (ненамеренных) значений и указаний, – дело в том, что осмысленное употребление языка предполагает введение ограничений на произвол в указании и приписывании значений. Такие ограничения, называемые Патнэмом “теоретическими ограничениями”, должны действовать и в аксиоматической теории множеств, где мы при формулировке аксиом исходим из математической интуиции.

Интерес представляет природа этих теоретических ограничений. Для того чтобы избежать произвола в указании или приписывании значений терминам, мы должны принять что-то вроде конвенции об употреблении терминов, т.е. принять определенного рода решения. Другим источником теоретических ограничений может быть наш опыт обращения с эмпирическим материалом и теоретическими схемами в определенной области науки. С точки зрения Патнэма, теоретические ограничения подобного рода не могут дать полной системы аксиом теории множеств (полная система аксиом теории множеств была бы нерекурсивной, и трудно представить себе, говорит он, как можно было бы сконструировать такую теорию в рамках человеческих возможностей). Но невозможность полной системы аксиом означает наличие ненамеренных интерпретаций. И вот тут Патнэм выдвигает один из основных своих тезисов при обсуждении парадокса Сколема: он считает, что намеренные интерпретации появляются за счет введения теоретических ограничений (Патнэм вводит и так называемые операциональные ограничения, но мы не будем останавливаться на них).Но тогда предложения, которые не зависят от аксиом, не будут иметь определенного истинностного значения. Они будут истинными в одной модели и ложными в другой. Иными словами, истинность или ложность такого рода предложений зависит от двух источников теоретических ограничений, в частности от конвенций, принятых нами.

Если все сказанное верно, то релятивизм, отмеченный Сколемом, распространяется на язык в целом. Для иллюстрации этого положения следует рассмотреть пример из теории множеств. Этот пример приведен Патнэмом в уже цитированной статье “Модели и реальность”.

В доказательстве относительной совместимости системы аксиом Цермело – Френкеля с аксиомой выбора и обобщенной континуум-гипотезой Гедель использовал новую аксиому теории множеств “V = L”. Аксиома означала, что все множества конструируемы: L представляет класс конструируемых множеств, а V – универсум всех множеств. В доказательстве использовалась такая модель, в которой эта аксиома была истинной.

Утверждение “V = L” является независимым от остальных аксиом утверждением и поэтому может рассматриваться как результат теоретических ограничений, в частности как результат постулирования. Гедель предположил, или постулировал, что оно является истинным. В отношении постулируемых утверждений (можно рассматривать как постулаты значения в смысле Карнапа) всегда возникает вопрос о том, как эти постулируемые предложения соотносятся с реальностью. Другими словами, возникает вопрос: а истинно ли это предложение в реальности?

Сам Гедель в конце концов принял точку зрения, согласно которой это утверждение в реальности ложно, исходя из своей интуиции. Патнэм замечает, что хотя эту интуицию Геделя разделяют многие математики, остается вопрос, имеет ли она смысл. (Надо заметить, что система, состоящая из утверждения о ложности “V = L” и теории множеств, непротиворечива, если непротиворечива сама теория множеств.) Какой смысл можно придать утверждению, что это утверждение ложно, кроме как апелляцией к интуиции?

Имеет смысл утверждать, что ложность “V = L” “в реальности” может означать, что модель, в которой “V = L” справедливо, не будет намеренной моделью. Если, как уже было сказано, намеренная модель получается за счет теоретических ограничений, а “V = L” удовлетворяет таким ограничениям, то тогда нам придется признать, что "V ¹ L" не следует из теоретических ограничений. Это означает, что истинностное значение утверждения “V = L” подвержено относительности, о которой говорит Сколем. Это же относится к таким утверждениям, как аксиома выбора и континуум-гипотеза.

Относительность подобного рода поднимает серьезнейшие вопросы, которые и являются темой данной статьи. Трудно согласиться с тем, что такие утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, не имеют определенного истинностного значения. Они сформулированы с учетом всех требований рациональности, и если все-таки принять точку относительности в отношении подобных утверждений, то тень сомнения упадет и на само понятие рациональности. Это будет означать, что на некотором этапе развития математики мы можем сформулировать на первый взгляд рациональные утверждения, которые таковыми не окажутся при более тщательном анализе. Это и есть основание для драматического описания ситуации как возможности "иррациональной математики".

Это весьма расплывчатый тезис, и он требует разработки.

Вопрос можно переформулировать следующим образом. Если мы не знаем истинностного значения, скажем, аксиомы выбора и оно не может быть решено путем установления конвенции на этот счет (которая есть часть теоретических ограничений), то тогда принятие аксиомы поднимает вопрос о рациональности. Патнэм приводит следующий пример. Пусть некоторая внеземная цивилизация имеет такую математику, в которой аксиома выбора отвергается. С точки зрения земной математики, принимающей эту аксиому, внеземляне, очевидно, делают ошибку, и, очевидно, их математика иррациональна. Этого слишком сильного заключения можно избежать, если не считать, что аксиома выбора не является частью нашей рациональности. Но если она таковой вряд ли является, тогда придется все-таки признать относительность теоретико-множественных понятий в духе Сколема. Это означает, что не существует одной выделенной рационально приемлемой теории множеств, и в этом смысле принятие любого решения относительно истинностного значения аксиомы выбора или континуум-гипотезы есть акт иррациональный или же субрациональный.

Патнэм предполагает, что рациональность наша состоит отчасти в том, что мы готовы приписывать истинностные значения утверждениям независимо от соответствующей теории и такая зависимость, на которую указал Сколем, может рассматриваться как отказ от рациональности.

Как видно, свою аргументацию по поводу теоремы Левенгейма – Сколема Патнэм переносит на более общий случай использования языка, и эту программу он называет "сколемизацией всего". Программа эта является частью его хорошо известной концепции "внутреннего реализма", критический анализ которой не входит в задачу данной статьи. Но следует сказать по этому поводу ряд вещей. Прежде всего, как отмечает Я.Хакинг, такая "всеобщая сколемизация" вряд ли происходит, поскольку следствия теоремы Левенгейма – Сколема касаются только тех теорий, которые формализованы в языке первого порядка, в то время как естественный язык может быть формализован в лучшем случае в языке второго и высших порядков.

“Сколемизация всего” связана с теорией указания Патнэма. Суть ее заключается в теореме Патнэма, которая может быть представлена в следующем виде: “Ни одна точка зрения, которая фиксирует только истинностные значения целостных предложений, не может фиксировать референты, даже если она определяет истинностные значения предложений в любом возможном мире” [4].

Очевидна связь этой теоремы с тезисом о неопределенности радикального перевода Куайна. Считается, что Патнэм усугубляет и без того парадоксальную мысль Куайна о непостижимости указания. Так, в приводимом им примере он отмечает, что когда вы говорите о кошках и коврике (“кошка сидит на коврике”), вы, быть может, имеете в виду вишни и деревья (“вишня висит на дереве”). Различие в указании не будет проявляться для двух этих интерпретаций, поскольку все, в чем уверен один человек (некоторая кошка находится на некотором коврике), выражается предложением, которое в интерпретации другим человеком есть нечто, в чем уверен уже он (некоторая вишня висит на некотором дереве). Всякий раз, когда один человек говорит о кошках, он может иметь в виду то, что другой человек называет вишнями, и наоборот. И если один человек собирался бы сказать, что кошка находится на коврике, другой человек согласился бы, поскольку считал бы, что первый человек говорит о том, что вишни находятся на дереве. Иными словами, может быть достигнуто полное согласие между двумя людьми относительно того, каковы факты мира, т.е. относительно того, какие предложения являются истинными, и все же тот факт, что когда один человек говорит о кошках, другой говорит о том, что первый называет вишнями, может не проявиться ни в чем [5].

Многие отмечают неестественность этой точки зрения как Куайна, так и Патнэма. В качестве основы для своей позиции о референции Патнэм использует так называемый результат о перестановках, согласно которому при данной интерпретации I языка первого порядка L мы можем сконструировать другую (“ненамеренную”) интерпретацию J, которая сохраняет все истинностные условия всех предложений L, т.е. сохраняются все истинностные значения во всех возможных мирах, при варьировании объемов терминов и предикатов [6].

Но все-таки более фундаментальная аргументация в этом отношении состоит в апелляции к теореме Левенгейма – Сколема. Патнэм делает вполне корректное обобщение, применимое к любому универсуму объектов, к тем же кошкам и вишням. Если взять в качестве аксиом все истины об этих объектах в терминах языка первого порядка, то какую бы интерпретацию мы ни выбрали, всегда будут ненамеренные интерпретации. Если мы выбираем только два рода объектов – кошек и вишни – и используем короткий список истин, мы можем отобразить намеренную интерпретацию о кошках на ненамеренную интерпретацию о вишнях.

Безусловно, парадоксальность аргументации Патнэма никак не исчезает, даже если он апеллирует к математической теореме. Я.Хакинг отмечает следующие аспекты неправдоподобности подобного рода обобщений. От абстрактной теоремы Патнэм переходит к таким предложениям, которые находятся вне сферы логики. При этом Патнэм “странным образом” ссылается на Виттгенштейна, согласно которому значения выражений не могут быть исчерпывающим образом заданы правилами. Но обобщение математической теоремы до уровня обыденного языка может быть просто схоластическим занятием.

Однако есть и более фундаментальные возражения против тезиса Патнэма, согласно которому тотальное использование языка фиксирует единственную “намеренную интерпретацию” не в большей степени, чем это делает любая аксиоматическая система, и поэтому требуется еще и “понимание”. Но что представляет собой понимание, или некоторого рода объяснение? П.Бенацерраф предлагает другое направление в проблеме соотношения сколемовского аргумента и апелляции к языковой практике [7].

Любое объяснение должно состоять из дополнительных слов. А сами эти слова нуждаются в интерпретации. Что, собственно, предлагается в этом случае Патнэмом? Он хочет рассматривать любое объяснение как неинтерпретированное расширение уже деинтерпретированной теории. Цель подобного подхода ясна – Патнэм при этом стремится получить новую теорию, для которой будет возможно прежнее изобилие интерпретаций.

Сама идея Патнэма заключается в необходимости какого-то рода объяснений нашей практики. Но практика тут может пониматься двумя различными способами. Речь может идти о понимании того способа, которым практика определяет значение математического языка. Или же речь может идти о понимании того, как значение определяется употреблением языка вообще. Моя идея состоит в том, что эти два вопроса нельзя путать и они требуют отдельного рассмотрения. И то, что Патнэм объединил эти вопросы, никак не способствует разрешению собственно проблем, связанных с пониманием математического языка. Другими словами, нужен “развод” между философией языка и философией математики.

Что касается математического языка, то можно согласиться с Патнэмом, что детерминанты математического значения содержатся в нашем использовании математического языка. Но, как замечает Бенацерраф, неясно, почему, по Патнэму, это использование будет как-то “схвачено” аксиомами? Или же всякий раз будет обеспечивать следующего кандидата на сколемизацию тем, что добавленное объяснение должно лишаться интерпретации и добавляться в качестве аксиом к теории первого порядка, которая также лишена интерпретации.

В результате подобной критики Патнэма Бенацерраф приходит к очень важному выводу: “Математическая практика отражает наши интенции и контролирует наше использование математического языка такими способами, которые могут не осознаваться нами в любой заданный момент и которые превосходят то, что мы точно устанавливаем в любом заданном объяснении” [8].

Это еще одно свидетельство в пользу того, что мы могли бы назвать “иррациональностью” в математике. Наше использование математических терминов не “схватывается” аксиомами и нуждается в дополнительном объяснении. Это дополнительное объяснение представляет собой теорию того, как употребляется математический язык, и само это объяснение может нами не осознаваться. Чем это не “иррационализм”?

Однако такая постановка вопроса упирается в то, является ли вопрос о значении математических терминов и, тало быть, об объяснении математической практики вопросом об объяснении употребления языка. Далее мы изложим некоторые сомнения в этом отношении, и тогда перед нами встанет совершенно ясная дилемма: или развод философии языка и философии математики, или же признание “иррационализма” в математике. Далее мы опишем именно эту дилемму.

Обобщение “сколемизма” в стиле Патнэма стало возможным благодаря общему фону в аналитической философии языка, заключающемуся в критике традиционного понятия значения. Атаку на это понятие предприняли Куайн, Патнэм и Крипке, каждый со своей точки зрения, но всем их аргументам свойственно общее. Хотя радикальный отказ от традиционной теории значения может привести к столь же радикальным следствиям в философии вообще. Действительно, понятие значения неразрывно связано с понятием истины. Истинность утверждения зависит от значения (как всего предложения, так и входящих в него слов). И если принять заключение вышеупомянутых философов о том, что не существует определенного (в предельном случае – однозначного) значения терминов языка, то что тогда будет детерминантом истины утверждения?

Как можно реагировать на радикальное устранение понятия определенного значения, следующее, по предположению, из распространения математического результата на язык вообще? П.Бенацерраф предлагает рассматривать аргументы в отношении классического понятия множества как проявление традиционных скептических аргументов. И как таковые они значимы только тогда, когда они обобщаются и приобретают статус “обобщенного сколемизма”.

Общим для аргументов Куайна, Патнэма и Крипке, как утверждает К.Райт, является то, что все они представляют собой версии идеи позднего Виттгенштейна о том, что значение не может превзойти употребления. Так, согласно тезису о неопределенности радикального перевода Куайна при определении значения выражения переводчик будет иметь дело с неопределенным числом взаимно несовместимых гипотез относительно значения. И каждая из этих гипотез будет адекватной для имеющихся данных, так же как будет адекватной при значительном расширении этих данных [9].

Известная реконструкция скептического аргумента Виттгенштейна, предложенная Крипке, сводится к тому, что предыдущее употребление выражения не может рационально ограничить его интерпретации до единственной. Например, указание на любое количество конкретных яблок согласуется с неопределенно многими способами последующего использования слова “яблоко”. Стало быть, определенность значения выражения следует искать в другом месте [10].

Использование идеи Виттгенштейна о том, что значение не может превзойти употребления, напрямую связано с идеей рациональности. Если Виттгенштейн прав (так же как правы его интерпретаторы), то значение не содержит чего-то большего по сравнению с тем, что можно получить просто в результате рационального размышления по поводу употребления выражения. И никакое число данных по поводу употребления выражения, и никакая, в том числе аксиоматическая, характеристика этого употребления не могут рационально сократить число интерпретаций выражения до одной.

Скептические аргументы в отношении значения были направлены против платонистских тенденций в теории значения, – потому что противоположностью идее Виттгенштейна было бы признание того, что значение превосходит употребление. Но в этом случае значение не будет доступно рациональному критерию, который значим при употреблении выражения, а это, в свою очередь, означает, что значение должно быть доступно каким-то прямым образом. Современная эпистемология не признает подобного рода прямого доступа к значению, поскольку при таком доступе оно остается чисто субъективным и личным.

Как скептический вызов сколемовского толка, так и платонистский аргумент представляются неудовлетворительными. Однако нелегко найти контраргументы в случае скептического вызова. Во-первых, у разных критиков классической теории значения имеются существенные различия в аргументации и трудно найти общие контраргументы. Во-вторых, не ясно, в какой степени скептические аргументы, являющиеся обобщением математических результатов, значимы для более общего случая языка.

Вернемся к оценке Бенацеррафом патнэмовской идеи объяснения, которое требуется в дополнение к аксиомам, чтобы “схватить” концепцию множества. Патнэм предлагает добавлять в качестве добавляемого объяснения неинтерпретированные утверждения к деинтерпретированной системе, и совершенно оправданно предполагает при этом, что в результате получается система, вновь подверженная сколемовскому скептицизму. В качестве контраргумента Бенацерраф предлагает такое восприятие объяснения, которое не было бы интерпретацией. Здесь Бенацерраф также апеллирует к Виттгенштейну, который сделал следующее замечание: “…Существует такое понимание правила, которое является не интерпретацией” [11]. Так, если к аксиомам Цермело – Френкеля, по мысли Бенацеррафа, добавить объяснения по поводу намеренной концепции множества, то эти замечания могут иметь такую объяснительную силу, которая превосходит ограничения модели первого порядка в отношении определенности содержания концепции множества.

Но, как замечает К.Райт, как из замечания Виттгенштейна, так и из мысли Бенацеррафа трудно понять, чем может быть объяснение, кроме как интерпретацией [12]. Таким образом, исходя из эпистемологических мотивов следует избегать платонистского примата значения над употреблением. Поэтому придется признать, что значение не может быть определено однозначно, если “единственными детерминантами являются рациональная методология и наибольшее число данных” [13]. Это означает, что значения математических терминов не могут быть определены однозначно, и не могут быть таковыми, если исходить только из рациональных соображений. Является ли это достаточным основанием для того, чтобы говорить об “иррационалистических” основаниях математики, трудно сказать. Но можно сказать, что одних только рациональных оснований явно недостаточно. Больше того, согласно Райту, понимание или объяснение выражения не может быть результатом получения единственного рационального решения проблемы интерпретации употребления термина.

Райт замечает, что сам Виттгенштейн полагал недостающим параметром в определенности языка человеческую природу, человеческую практику. Мы приобретаем способность участия в практике, и в такое приобретение вносят вклад не только наши рациональные способности, но также и субрациональная природа нашего мышления. Райт рассматривает эту субрациональную природу как определенную естественную склонность человека поддерживать определенные структуры суждения и его реакции на них.

Дополнительное объяснение, которое требовалось для определенности значения, не может быть чем-то инвариантным для всеобщности моделей теории, которая содержит объяснение. Оно, как и реакция на него, обусловлено не попытками рационально интерпретировать теорию, а совсем другими факторами. Это еще одно подтверждение обоснованности разговора об “иррационализме” математики.

Как видно, все эти проблемы суть результат попыток апелляции от чисто математических результатов к естественному языку, поскольку центральными понятиями являются понятия однозначного указания и значения лингвистических терминов. Но как только мы обращаемся к философии языка, мы сталкиваемся с весьма многими эпистемологическими затруднениями, в частности с проблемой эпистемического доступа к математическим объектам. Как я утверждал ранее, подобного рода затруднений можно избежать, если избегать философских проблем, обусловленных спецификой математических объектов. Дж.Аззуни говорит, что математические термины должны пониматься аналогично эмпирическим терминам и тогда заключение о структуре математических утверждений будет прямым следствием анализа языка математических теорий. Этот тезис Аззуни называет лингвистическим реализмом [14]. А все затруднения порождены метафизической инертностью математических объектов, которая не имеет прямого отношения к значению математических терминов. Поэтому имеет смысл развести в стороны позицию лингвистического реализма и философские проблемы указания и значения. Если этого не будет сделано, то тогда придется признать, что в значительной степени математические соображения не подлежат суду рациональных принципов. Другими словами, вряд ли можно безоговорочно применять идеи Виттгенштейна о механизме действия языка к анализу значений математических терминов.

Примечания

[1] См.: Putnam H. Models and Reality // Journ. of Symbolic Logic. – 1980. – V.45, № 3, – Р.464–482.

[2] См.: Rota G.K. The Nature of Mathematical Truth // Rev. of Metaphysics. – 1991. – V.XLIV, № 3.

[3] Putnam H. Models and Reality. – Р.

[4] Putnam H. Reason, Truth and History. – Cambridge 1982. – Р.33.

[5] Здесь я практически заимствовал аргументацию из превосходной книги Я.Хакинга “Представление и вмешательство” (М.: Гнозис, 1998. – С.114–115).

[6] См., например: Hale B., Wright C. Putnam’s Model-Theoretic Argument // Companion to Philosophy of Language/ – Blackwell, 1997. – P.448–452.

[7] См.: Benacerraf P. Skolem and the Sceptic // Proceedings of the Aristotelian Society. – 1985. – Suppl. v.LIX. – P.85–113.

[8] Ibid. – P.111.

[9] См.: Quine W. Word and Object. – Cambridge UP, 1964.

[10] См.: Kripke S. Wittgenstein on Rules and Private Language. – Blackwell, 1982.

[11] Виттгенштейн Л. Философские исследования. 201: Философские работы. – М.: Гнозис, 1994. – Ч. 1. – С.163.

[12] См.: Wright C. Skolem and the Sceptic // Proceedings of the Aristotelian Society. – 1985. – Suppl. v.LIX. – P.117–137.

[13] Ibid. – P.130.

[14] См.: Azzouni J. Metaphysical Myths, Mathematical Practice. – Cambridge UP, 1997.