Идеи и вычисления

Диалог философа и математика1

В.В. Целищев

В один из зимних вечеров между работающим математиком и философом, чьи интересы лежат в области философии математики, состоялась беседа. Известно, что у таких собеседников на одни и те же вопросы, касающиеся методологии математики, традиционно существуют разные ответы. Возможно ли какое-то общее понимание хотя бы некоторых проблем? Частичным ответом на этот вопрос и является вымышленный диалог, представляемый читателю.

Философ: В одном из первых переводов Н. Бурбаки на русский язык, помнится, в качестве эпиграфа был приведен афоризм Лейбница. Цель математики, говорит Лейбниц, состоит в том, чтобы заменить идеи вычислениями. Хорошо помню также, что в дальнейших переводах Н. Бурбаки была признана ошибка первого перевода и утверждалось, что правильный перевод Лейбница таков: цель математики состоит в том, чтобы заменить вычисления идеями. В то время я знал, какой из вариантов правилен с моей точки зрения, но потом я забыл свою аргументацию и теперь нахожу обе формулировки достойными внимания. А что ты думаешь по этому поводу?

Математик: Я уверен в том, что цель математической деятельности состоит все-таки в замене вычислений идеями. Самые значительные по своему техническому уровню идеи становились важными только в том случае, если их можно было объяснить на уровне идей, понятных образованному человеку. Это относится, кстати говоря, ко всем наукам.

Философ: Если это относится ко всем наукам, то теряется математический аромат афоризма Лейбница. Возникает ощущение, что, рассматривая математику в общем культурном контексте, мы слишком расширяем проблему соотношения идей и вычислений.

Математик: Но замена вычислений идеями и есть как раз то, что делают математики. Я хочу сослаться тут на деятельность А.И. Мальцева. В одной из своих работ он обсуждает технические результаты исследований И. Шафаревича по конечным подгруппам, и говорит, что эти результаты могут быть выражены исходя из более общих идей. Такого рода работу А.И. Мальцев считал значимой, полагая, что имеющее при этом место передоказательство не менее важно, чем основной результат. Сам я полагаю, что представление результата ясным и понятным и есть, по сути, замена вычислений идеями.

Философ: Ты говоришь о техническом упрощении результата, скажем, доказательства как о более ясной идее, призванной заменить вычисления. А не происходит ли при этом замена одной цепи вычислений другой цепью, опять-таки вычислений. Где же тут замена вычислений идеями?

Математик: Если бы все дело заключалось в смене одного вычисления другим без получения чего-то существенного, то вряд ли математики занимались бы передоказательством. Между тем Гаусс неоднократно возвращался к ряду своих доказательств, приводя все новые и, надо думать, более ясные доказательства.

Философ: Но Гаусс мог добиваться ясности для себя самого, и тогда это обстоятельство является психологическим.

Математик: Нет, нет! Процесс передоказательства включает много такого, что «и не снилось нашим мудрецам», то бишь философам. Главное тут в том, что новая идея, которая лежит в основе передоказательства, требует нового технического аппарата, а зачастую и создания новых понятий и нового языка. И вот в этом новом языке, в новом аппарате старый результат становится более естественным и понятным.

Философ: Не получается ли так, что бόльшие ясность и понятность тут иллюзорные? Ведь они достигаются за счет усложнения аппарата, языка. Возникает такое ощущение, что хотя усложнение языка компенсируется большей ясностью, сумма идей и вычислений остается постоянной. Как говаривали в школе, от перестановки мест слагаемых...

Математик: Но это неверный подход! Нельзя забывать, что процесс передоказательства есть создание нового контекста, который меняет и саму исходную постановку вопроса. Рассмотрим «парадокс изобретателя» Д. Пойа, в котором особенно хорошо видна роль обобщений. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами b и с и гипотенузой а. Требуется доказать, что а² = b²+с². Обычное доказательство включает в себя построение на трех сторонах треугольника трех квадратов. Квадрат является простой фигурой, и за счет этого, по сути, затемняется тот факт, что можно сформулировать более общее доказательство, если на сторонах прямоугольного треугольника строить подобные произвольные многоугольники. Если отношение площадей квадрата и многоугольника, построенных на гипотенузе, равно ?, тогда из подобия многоугольников следует, что их площади будут ? а², ? b², ? с². Если верно уравнение а² = b²+с², тогда верно и утверждение ? а² = ? b² + ? с². Последнее уравнение будет обобщением исходной теоремы Пифагора. Д. Пойа отмечает, что обобщение тут равносильно частному случаю. Но введение в рассуждение более общих фигур по сравнению с квадратами, а именно, произвольных многоугольников, позволяет нам передоказать теорему Пифагора, не прибегая к сложным геометрическим построениям. Достаточно опустить высоту на гипотенузу. Действительно, сам треугольник можно рассматривать как произвольный многоугольник, построенный на гипотенузе. Тогда два треугольника, разделяемые высотой, будут подобными треугольниками, построенными на катетах. И площадь самого треугольника равна сумме площадей двух его частей. Здесь мы имеем гораздо более простое доказательство теоремы Пифагора. Что может быть проще, чем тот факт, что площадь треугольника равна сумме площадей его частей! Но простота тут достигается за счет обобщения типа ? а² = ? b² + ? с²_. Впрочем, сам Пойа замечает, что этот пример «демонстрирует также тот факт, обычный в математике и поразительный для начинающего философа, что общий случай может быть логически равносилен частному случаю»².

² Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М., 1957. – С. 36.

Философ: Хорошо. Пусть обобщение ведет к новому доказательству, которое более ясно и понятно, чем старое. Но это два доказательства одного и того же результата, не так ли? Ведь если мы получаем большую ясность, то можно ли считать это тем же самым результатом? Даже если мы считаем, что результат один, то получаем не меньшее затруднение: результат независим от доказательства, которое может быть простым или сложным, технически громоздким или идейно ясным, короче, лучшим или худшим доказательством. Но представить себе результат, т. е. некоторое математическое утверждение, полностью независимым от доказательства, может только крайний платонист, для которого все результаты уже существуют в мире математических объектов и только ждут своего открытия. Интересно в этой связи, какое из доказательств платонист полагает подлинным открытием?

Математик: Боюсь, что мой ответ в первом приближении будет скорее философским. С одной стороны, результат, конечно, не существует без доказательств. С другой стороны, поскольку доказательств может быть много, результат в определенной степени не зависит от доказательства. Другими словами, между результатом и доказательством существует этакая диалектическая связь. Но, повторяю, столь философский ответ есть только первое приближение. Дело в том, что разные доказательства, хотя они и приводят к одному и тому же результату, по сути дела, независимы друг от друга, так как принадлежат к разным языкам. И хотя платонистское видение результата как сущности некоторого рода более понятно, все-таки тут надо учесть и концептуалистский упор на используемый язык.

Философ: Я могу согласиться с тем, что язык важен при формулировке философских проблем или же проблем естественно-научных, но относится ли это к математике? Разве не является математика универсальным языком, где нет места диалектам? И можно ли представить себе в математике язык худший или язык лучший?

Математик: ты обратил внимание на очень важную вещь. Я считаю саму идею универсального языка математики вообще порочной. Хотя в течение долгого времени она была в ходу, а в конце XIX и начале XX вв. стараниями многих математиков, включая Д. Гильберта, идея универсального языка для всей математики была доминирующей. Но с моей точки зрения, каждый фрагмент математики требует особого, «своего» языка, подходящего для решения определенных проблем. Нарочитое нарушение этой рекомендации ведет к явным странностям и аномалиям. Например, у Н. Бурбаки в «Теории множеств» в результате поисков единой структуры для математики единица появляется где-то через 200 страниц, и чем бы Бурбаки ни руководствовался, это неестественно. Я даже думаю, что для каждого фрагмента математики подходящий язык создается. И основным мотивом при его создании является стремление получить результаты наиболее простым и ясным образом.

Философ: Не может ли случиться так, что различные языки созданы для решения одних и тех же проблем? Если такая ситуация возможна, то какое основание может быть для такого положения? Ведь различные языки создаются для подходящих различных областей математики.

Математик: Часто тождественность математических проблем, решаемых с помощью различных языков и аппаратов, обнаруживается позднее. И установление такого тождества, между прочим, есть существенная часть математической деятельности.

Философ: Ну а после обнаружения того, что, например, две различные теории, как оказывается, говорят об одном и том же, не следует ли выбрать один язык и отказаться от другого? Другими словами, предпочесть лучший из них исходя из некоторого критерия?

Математик: Здесь в действие вступают психологические обстоятельства. Например, М. Шевалье указывает в своей книге «Алгебраические функции одной переменной», что одни и те же результаты по теории функций могут излагаться совершенно различными способами: чисто алгебраически, на языке алгебраической геометрии, на языке аналитических функций римановых поверхностей. Существуют различные группы математиков, каждая из которых привержена «своему» языку, и самый важный факт заключается в том, что нет «лучшего» языка.

Философ: У меня есть ощущение, что мы обсуждаем две разные идеи, – по крайней мере, они выглядят разными для философов. С одной стороны, мы говорим об упрощении доказательства, достигаемого в рамках одного и того же языка. С другой стороны, мы говорим об использовании различных языков, один из которых делает результат более понятным. Эти два случая различаются в математике?

Математик: Вообще-то различаются. Но я вряд ли стал бы противопоставлять два этих случая. Конечно, есть и такие передоказательства, которые являются упрощением в рамках одного языка. Но дело в том, что само упрощение доказательства делает упор не на смене языков, а на более тонких обстоятельствах. Что такое смена языков, скажем замена языка А₁ языком А₂? Может статься, что определяемые понятия в А₁ станут примитивными понятиями в А₂. Но это будет слишком радикальная замена, происходящая, как правило, очень редко. На практике мы имеем дело с конструированием математических понятий в рамках одного языка. Например, часто вводятся временные, вспомогательные конструкции, используемые в доказательстве. И упрощение доказательства состоит не в том, чтобы эти определимые временные конструкции сделать примитивными, а в том, что более простое доказательство использует другие временные конструкции. Является ли смена системы вспомогательных конструкций переходом к другому языку или же это упрощение в рамках одного и того же языка? Мне кажется, что настаивать на таком жестком разграничении – значит упустить суть дела. Словом, я бы не противопоставлял два этих случая.

Философ: Ты хочешь сказать, что в проблеме упрощения доказательства важным является не только соотношение языков, но и различное использование вспомогательных конструкций. Это новая идея, и пока мы не перешли к ее обсуждению, я хочу получить определенный ответ на мой исходный вопрос. Не являются ли различные доказательства одного и того же утверждения эквивалентными в некотором смысле?

Математик: Ни в коем случае! Различные доказательства одного и того же результата представляют собой различные математические конструкции, по большей части несводимые друг к другу. Я уже сказал, что специфика каждого из них заключается в различных комбинациях вспомогательных понятий. Конечно, иногда возможен и формальный перевод одного языка на другой, скажем, перевод примитивных понятий одного языка в примитивные понятия другого. Но я полагаю, что при таком переводе не появляется новых идей.

Философ: Коль скоро на передний план нашей дискуссии вышли эти самые вспомогательные конструкции, различные комбинации которых могут привести к различным доказательствам, я хотел бы поинтересоваться их статусом. Быть может, это эвристические понятия, которые отбрасываются при готовом доказательстве?

Математик: Нет, это не эвристические понятия. Они являются неотъемлемой частью доказательства и не могут быть отброшены.

Философ: Так чем же они являются? Материализованным воплощением идеи, лежащей в основе доказательства? Но такой статус им не свойствен, потому что будучи вспомогательными, они не представлены в сущности, результате, к которому ведет несколько доказательств. А если эта сущность независима от доказательств и вспомогательные конструкции не имеют «отпечатка» в сущности, то как можно придавать им такое значение, возлагая на них ответственность за упрощение доказательства?

Математик: А ты уверен в том, что сущность или результат так уж независимы от доказательства и тем самым от вспомогательных конструкций? Ведь уже в примере с теоремой Пифагора мы через вспомогательные конструкции приходим к более общему результату, ведущему к упрощению доказательства.

Философ: Я могу согласиться с тем, что вспомогательные конструкции являются существенной частью доказательства. Но если они не являются идеями, тогда, быть может, они являются просто символами, различные комбинации которых и приводят к разным доказательствам. Однако мне неясно вот что: ведь переход к более общему случаю и сопутствующее ему упрощение доказательства определенно суть новое знание. Так как же можно получить новое знание, т. е. новую информацию, простой манипуляцией символов?

Математик: А дело в том, что «манипуляция», как ты это называешь, символами, вовсе не приводит сама про себе к новой информации. Если я с помощью этих манипуляций набредаю на более общий случай, я не считаю его «более общим» просто потому, что я не ставил себе этой общей цели. Меня интересовал мой скромный результат, и для меня в большей общности нет расширения информации. Но вот тот, кто ставит перед собой другую цель, вероятно, увидит и новые возможности. Расширение информации лежит в изменении задачи, цели, поиска, т. е. при решении проблемы получения нового результата.

Философ: Если манипуляции с символами не приводят к новой информации, то все равно эти манипуляции имеют прямое отношение к обсуждаемой нами проблеме соотношения идей и вычислений. В некотором смысле в процессе математического рассуждения мы идем от идей к вычислениям, а именно, от идей к алгоритмам. Во-первых, и применение математики состоит в создании алгоритмов «сделай так», «вычисли по образцу» и т. п. Во-вторых, идеи могут быть весьма сложными, но как только они «положены» на алгоритм, они становятся понятнее. Так что манипуляция символами в вычислениях, присутствующая в самом акте лучшего понимания, говорит о том, что идеи надо заменить вычислениями.

Математик: Возможно, что алгоритмическая форма идей и является важной частью практики применения математики, но вряд ли она связана с математикой самой по себе. Инженер может превосходно управляться с математическими таблицами или компьютером, но это вовсе не значит, что он знает математику. Другое дело, что всякая математическая идея, как говорят у математиков, должна оканчиваться числом, т. е. касаться вычислений. В этом простом смысле в движении от идеи к вычислениям есть какая-то сермяжная правда. Но никак не могу согласиться с тем, что идея в алгоритмическом виде становится понятнее. Это более сложная, спорная и даже неверная позиция.

Философ: Постараюсь ее пояснить. В математическом доказательстве важно видение его в целом, то, что называется «обозримостью». Это есть постижение некоторой идеи результата. В то же время, доказательство должно быть убедительным, и с этой целью оно разбивается на некоторое число мелких шагов. Само разбиение, реализующее метод Декарта, есть шаг к алгоритмизации. Это я говорю о нестрогом доказательстве. Ну а если строгость увеличивается, мы получаем алгоритм, некоторую процедуру перехода от одного шага к другому. В случае формализованного доказательства мы вообще имеем попросту алгоритм.

Математик: Для того чтобы доказательство было обозримым, оно не обязательно должно быть представлено в алгоритмическом виде. Обозримость достигается укрупнением мелких шагов в целое. Именно здесь вновь появляется идея использования вспомогательных конструкций, которые позволяют упрощать доказательство и делать его более понятным. Если мы не используем их, мы не сможем получить обозримости доказательств. Конечно, жизнь их скоротечна, но свою роль они выполняют.

Философ: Когда ты говоришь о большей ясности в понимании доказательства, ты имеешь в виду процесс или окончательное его представление? Дело в том, что в случае окончательного представления, с моей точки зрения, бόльшую значимость приобретают алгоритмические моменты, а в процессе поиска – постижение.

Математик: У меня нет особых возражений против того, чтобы считать формализацию доказательства в некотором смысле вычислением. Но в процессе доказательства нового результата старого набора организованных языковых средств не хватит.

Философ: Так как же нам быть с вопросом о том, что правильнее в математике: заменить идеи вычислениями или же вычисления – идеями?

Математик: Я не стал бы противопоставлять эти две афористически высказанные мысли. Всякий афоризм является некоторого рода крайностью. Важен контекст, в котором афоризм приобретает значимость, а метафора становится буквальным утверждением. Скажем, для Лейбница с его программой универсального исчисления желательно было бы заменить идеи вычислениями. А вот для Лейбница, автора идей анализа, вычисления должны быть заменены идеями. Так и для работающего математика всегда предпочтительнее заменить вычисления идеями.

Примечания

¹ Данная статья была написана более 10 лет назад. В ее основу легли дискуссии, которые велись на совместном семинаре отдела философии Института философии и права и отдела математической логики Института математики СО РАН. Я обязан участникам семинара – Ю.Л. Ершову, С.С. Гончарову, К.Ф. Самохвалову, Н.В. Белякину, А.Л. Бессонову, В.Н. Карповичу – рядом положений, которые в той или иной степени затронуты в этой статье. Безусловно, мои коллеги не несут ответственности за те формулировки, которые приданы мною обсуждавшимся вопросам. Протагонистами математика и философа являются Ю.Л. Ершов и В.В. Целищев.