В.М.Резников

Принцип необходимости математики в составе научной теории
и математическая практика

Проблема единства научного знания является постоянно значимой для философии науки. Особенно остро она стоит в связи с философскими объяснениями оснований математики и так называемой “философии науки” в узком смысле этого слова, когда речь идет эмпирическом естествознании. “Непостижимая эффективность математики” все-таки остается загадочной, если исходить из традиционных установок философии математики и философии науки.

Одним из направлений философии науки, которая по-своему пытается решить эту проблему, является методологический натурализм. Сторонники методологического натурализма считают плодотворным использование методов естественных наук включая психологию, для исследования проблем из любой области науки¹.

Популярность методологического натурализма объясняется, с одной стороны, тем, что он избегает многих позитивистских ошибок, а с другой – в отличие от социологии науки, методологический натурализм большое внимание уделяет поиску истины. Философские установки методологического натурализма исходят из того, что в текущий момент научная картина мира принципиально неполна, некоторые ее части ошибочны, но в целом она отражает действительность в той мере, как она представлена в нашем познании на том или ином историческом этапе развития научного знания. Представители методологического натурализма не интересуются абстрактными понятиями самими по себе, как это свойственно философии или математике. Они полагают, что философские принципы, общие понятия и математические абстракции оправданы, если они были использованы в приложениях. В связи с этим методологические натуралисты относится с особым пиететом к практике научных исследований. Спекулятивная философия не принимается во внимание, и приоритет отдается методологии науки и научным реалиям². Это положение в отмеченной выше работе иллюстрируется следующим образом – если в науке получено, что некоторое утверждение P является свидетельством в пользу или против истинности другого утверждения Q, а философский анализ отрицает связь этих фактов, то философский анализ признается некорректным, так как он не согласуется с научным методом³. Тем самым методологический натурализм отрицает всякую возможность особого философского познания, принципиально отличного от методов естественных наук.

Известны попытки методологического натурализма исследовать практику математических приложений и тем самым распространить влияние за границы области естествознания, в рамках которого натурализм в достаточной степени адекватен. Интерес методологического натурализма к математике вызван рядом обстоятельств, в том числе и тем, что все знаменитые программы обоснования математики не были осуществлены до конца. По этому поводу С.Симпсон в статье, посвященной частичной реализации гильбертовской программы обоснования математики, с иронией отметил: “Рассмотрим в начале логицистов. Они говорят, что математика это логика, в логике рассматриваются утверждения, являющиеся аналитическими истинами, и аналитические истины не зависят от обсуждаемого предмета. Короче, математика не имеет собственного предмета. А что формалисты? Согласно им, математика это процесс манипулирования символами, которые не обязательно что-либо означают. Интуиционисты, в свою очередь, полагали, что математику составляют ментальные конструкции, не имеющие необходимой связи с внешним миром, если, конечно, он существует. И, наконец, платонисты. Их позиция лучше других, так как они позволяют математикам иметь собственный предмет. Этот предмет составляют структуры, не имеющие связи с внешним миром”⁴.

Наиболее авторитетными философами, допускающими методологический натурализм в качестве возможной философии математики, являются в настоящее время Х.Патнем, У.Куайн и П.Мадди. Конечно, несмотря на общность установки, между ними имеются определенные расхождения в методологических позициях. Так, например, П.Мадди является более радикальным методологическим натуралистом, чем Х.Патнем и У.Куайн⁵. Творчество последних двух дает основания считать их представителями особой разновидности холистического методологического натурализма.

Некоторые особенности холистического методологического натурализма в отношении к науке в целом и по отношению к математике, в частности, становятся ясными в результате анализа так называемого принципа 'indispensibility'. Так как сложно однозначно перевести данное понятие на русский язык, то имеет смысл использовать несколько синонимов, и мы будем употреблять термины: обязательность, необходимость, неизбежность, неустранимость. Один из них – “необходимость” – использован в названии настоящей статьи. Авторами принципа необходимости являются Патнем и Куайн, хотя аналогичные идеи в другом контексте высказывал уже Фреге.

Одна из кратких формулировок данного принципа такова:

P1. Онтологический статус признается за всеми и только за теми объектами, которые обязательно присутствуют в наиболее успешных научных теориях.

P2. Математические объекты обязательны в научных теориях.

P3. Следовательно, онтологический статус признается за математическими объектами.

В настоящей работе нас интересует адекватность куайновского натурализма математической практике. Поэтому мы рассмотрим только утверждения P2 и P3. От тезисной формы принципа обязательности математики перейдем к детальному изложению и анализу.

Принцип необходимости математики раскрывается в следующих положениях:

1. Научные дисциплины достигают зрелости только при использовании математики.

2. Многие научные результаты не могут быть получены без использования математики.

3. Формальное и эмпирическое знание в составе научной теории равноправны.

Рассмотрим последнее положение более подробно. Предположим, что научная теория включает математику, и посредством этой теории был получен правильный прогноз. Тогда в рамках доктрины Патнема-Куайна получает подкрепление вся научная теория, и в частности, использованная математика, как неотъемлемая часть теории, получает дополнительное подкрепление.

На первый взгляд такой способ обоснования математики парадоксален, однако имеются аргументы, в определенной степени обосновывающие такой подход. Аргументация Куайна и Патнема имеет синтетический характер, она использует как холистские соображения, так и идеи методологического натурализма, т.е. относится к холистскому методологическому натурализму.

Согласно холистской концепции невозможно ни обосновывать, ни опровергать части научных теорий. Теории лишь целиком опровергаются или находят подтверждение в эксперименте. Согласно методологическому натурализму математические и физические объекты имеют в составе физической теории одинаковый статус. Последнее положение объясняется следующим образом. Во-первых, многие физические понятия являются не менее абстрактными, чем математические. Во-вторых, для научных теорий имеет место принцип равноправия содержательного и формального знания, согласно которому математический аппарат и содержательная часть теории должны соответствовать друг другу. В частности, например, для описания сложных объектов используются сложные математические структуры, для математической обработки неточных измерений, как правило, используют приблизительные расчеты⁶.

Несмотря на кажущийся сугубо академический и отвлеченный характер проблемы, она имеет и важное практическое значение. Часто в науке используются новые разделы математики, не прошедшие проверку временем; например, в теоретической физике часто возникала необходимость в создании собственной математики специально для исследуемых проблем, так как известная к тому времени математика оказывалась не вполне адекватной. Опять-таки, чисто теоретически особых проблем с холистским натурализмом нет, так как вне практики научных исследований его основания представляются вполне логичными. Однако логичность не является достаточной для того, чтобы можно было принять философскую концепцию. Следует сопоставить холистский вариант натурализма с математической практикой, тем более этого требует содержание самой анализируемой концепции.

В полном соответствии со своей основной методологической установкой, методологические натуралисты не занимаются исследованием математических понятий, которые не были использованы в приложениях. Однако имеются некоторые исключения, и обычным примером здесь служит понятие бесконечности. Куайн полагал, что значимость понятия бесконечности не должна отрицаться методологическими натуралистами, тем не менее, основанием признания бесконечности считал аналогию между большими множествами и бесконечностью. Однако такой аналогии очевидным образом недостаточно для анализа существующей математической практики, так как понятие бесконечности используется в континуальной математике, а этот раздел математики часто применяется в приложениях.

Если строго следовать Куайну, получается, что разделы математики, не встречавшиеся в приложениях, обоснованными не являются. В связи с этим математика лишается многих первоклассных результатов, относящихся к теории алгоритмов, и связанных с доказательствами невозможности построения алгоритмов. Наличие такого рода “отрицательных” результатов принято считать свидетельством зрелости науки, потому что доказательство невозможности построения алгоритма предполагает нахождение точного определения алгоритма в самом общем виде. Другой пример: математики доверяют теоремам теории множеств, анализа, теории вероятностей и других разделов математики не в той степени, в которой эти теоремы полезны в приложениях, а в силу того, что они доказаны. Полученные результаты выведены из аксиом с помощью правил вывода, обеспечивающих получение истинных утверждений из других ранее доказанных истинных утверждений. Чтобы обосновать значимость используемых аксиом, математики апеллируют к интуиции, к полезности аксиом для самой математики, к тому обстоятельству, что аксиомы обеспечивают элегантную систематизацию имеющегося знания.

Приведем еще один пример из математической практики, так как он позволяет понять важные особенности математического 'духа'. В последние годы некоторые математические результаты удалось получить путем синтеза аналитических методов и компьютерных алгоритмов. Так, например, известная математическая проблема о минимальном количестве красок, нужных для раскраски сложной поверхности, таким образом, чтобы соседние области были окрашены в разные цвета, остается притягательной для чистых математиков и после того, как эта проблема была в существенной степени освоена. Почему профессионалы в области теории графов и топологии по-прежнему занимаются теоремой о раскраске? Потому, что решение проблемы о четырех красках было получено с применением компьютерных программ. Для математиков важен не только сам результат, ни тем более факт использования результата в приложениях. Очень большое значение имеет способ получения результата.

Как правильно оценить роль математики в приложениях? На наш взгляд, для этого необходимо отличать полезность математики для получения результата (инструменталистский аспект) от достижения с ее помощью истинного знания (гносеологический аспект).

Континуальная математика, используемая для формализации физических теорий, в состав которых входят идеализации, предполагающие непрерывное изменение энергии, является просто полезным аппаратом для анализа аппроксимаций, играет в значительной степени инструментальную роль. Аналогично, применение математики для описания гидродинамических моделей, предполагающих, что волны имеют бесконечную глубину, имеет инструментальный характер. Для данных случаев использование математических методов с одной стороны носит вспомогательный характер, так как для представления более правильных физических идеализаций наверняка потребуются другие математические методы, тем не менее, и фактически примененная математика является необходимой, так как без ее применения отмеченные результаты не могут быть, по-видимому, получены другими способами. Согласно Куайну, математика с ее абстрактными объектами здесь окажется необходимой, а значит, и этим объектам должен быть приписан онтологический статус. На практике же это совсем не обязательно – об этом даже не задумываются в силу инструментального характера самой математики в данном контексте.

В литературе выделяют два варианта теории необходимости математики⁷. Первый вариант назовем “простой теорией необходимости”. Сторонники этой теории полагают, что математические объекты обладают онтологическим статусом, если математика является частью научной теории, и при использовании теории был получен правильный прогноз. Более того, в рамках этой теории не предполагается специальное исследование логико-математической корректности используемых математических утверждений. В случае успешного прогноза математические объекты наряду с онтологическим статусом получают гносеологическое признание. Именно способность некоторых математических методов обеспечить правильный прогноз о ранее неизвестных явлениях позволяет считать эти методы обязательными в соответствии с принципом необходимости математики. Ситуацию здесь можно пояснить на следующем примере. Пусть имеется две одинаково обоснованные физические теории, которые сходны во все, кроме того, что одна теория способна прогнозировать существование новых элементарных частиц, в то время как вторая теория постулирует их существование; с точки зрения Куайна, только первая теория является необходимой.

Как мы уже отмечали, иногда использование математики приводит к результатам, которые оцениваются лишь с точки зрения полезности, но не истинности. Отсюда понятно отличие логических проблем, связанных с элиминируемостью вспомогательных понятий и методологических проблем, исследуемых Куайном; последние связаны с обоснованием корректности математических методов, используемых в приложениях и не обязательно обеспечивающих получение истинных результатов.

Второй вариант теории необходимости математики назовем “модифицированной теорией необходимости”. Как и в простой теории, здесь принимается существование математических объектов, входящих в научную теорию, использованную при получении правильного прогноза. Однако на этом похожесть теорий и заканчивается. Методолога-натуралиста особо волнует вопрос, является ли корректной математика, успешно использовавшаяся в приложениях? В модифицированной теории необходимости корректность теорем проверяется в соответствии с традиционными требованиями методологии математики. Если теоремы доказаны правильно, то математические объекты получают не только инструментальное, но и гносеологическое признание.

Простая и модифицированная теории необходимости математики оказались более всего уязвимыми для критики, в связи с теоремами о независимости некоторых математических утверждений от аксиоматики. Известным результатом такого плана является теорема о независимости гипотезы Кантора от аксиоматической системы ZFC (теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора). Суть данной гипотезы заключается в утверждении о существовании промежуточной мощности между мощностью натурального ряда и мощностью множества, состоящего из всех подмножеств натурального. Однако наибольший резонанс в философии науки вызвали результаты о независимости утверждений об измеримости так называемых A2 множеств от аксиоматики ZFC. Повышенный интерес к проблеме независимости множеств вызван тем обстоятельством, что теория вероятностей применима только для измеримых множеств.

Различные исходные методологические позиции обуславливают принципиально различное осмысление одних и тех же математических результатов, а это, в свою очередь, приводит к выбору принципиально различных исследовательских программ. Данное положение можно проиллюстрировать на примере проблемы независимости измеримости A2 множеств от аксиоматики ZFC. Вопрос о том, при каких условиях обладают лебеговой мерой A2 множества, судя по литературе, до их пор не решен.

Классы A2 множеств рассматриваются в так называемой дескриптивной теории множеств. В отличие от общей теории множеств, изучающей множества произвольной природы, в дескриптивной теории множеств исследуются конкретные и достаточно простые классы множеств, а именно, точечные открытые множества. Сам Лебег называл дескриптивными те множества, которые можно именовать. Детальный анализ дескриптивной теории множеств дан в монографии⁸.

Для методологического натурализма проблема измеримости множеств A2 по Лебегу является очень актуальной, так как A2 множества иногда возникают в физике⁹. В связи с этим большинство натуралистов полагают необходимым дать оценку истинности утверждениям об измеримости A2 множеств. Методологическую позицию этой группы методологических натуралистов назовем истинностной. Ряд представителей этого течения полагают необходимым дать оценку истинности именно в аксиоматике ZFC. Они полагают, что метод оценивания может быть и нематематическим и допустимо использование прагматических или эстетических подходов, и если решение этой проблемы не будет получено работающими методологами, то дело чести последователей завершить решение до конца. Истинностное направление не является однородным. Некоторые представители этого течения (их позицию мы назовем слабо истинностной) считают, что решение проблемы об измеримости множеств не обязательно должно быть получено средствами аксиоматики ZFC, вполне допустимо, если оценка истинности множеств будет найдена в одном из расширений ZFC. Отсюда возникает конкретная проблема. Она заключается в попытке каким-то образом определить основания, как и в предыдущем случае, не обязательно взятые только из математики, по которым можно сравнивать различные расширения ZFC, и тем самым выбирать оптимальное расширение. Все нами рассмотренные позиции характерны для представителей простой теории истинности. Представители модифицированной теории занимают несколько иную позицию, которую мы назовем сильно истинностной. Суть этого подхода заключается в требовании дать оценку истинности в одном из расширений ZFC, использование нематематических соображений при этом не допускается. Если полагать, что решение проблемы истинности является важным, но, тем не менее, не обязательным условием для развития математики, то возможна иная методологическая позиция, предложенная П.Мадди.

Как отмечает Мадди, рост математического знания возможен без определения истинностной оценки некоторых утверждений, достаточно следовать математическим канонам. В его работе показано, что поиски разнообразных расширений ZFC направляются, как правило, внутриматематическими канонами, а не соответствием формальных систем физическим теориям¹⁰. Результаты о неизмеримости некоторых множеств не являются преградой для сравнительного анализа возможностей различных аксиоматик и для получения новых результатов. Различные расширения ZFC имеют свои плюсы и свои минусы, и таким образом обладают различной ценностью. Так, например кандидатами для расширения являются аксиома конструктивности Геделя и аксиома измеримых кардиналов. В первом случае все A2 множества являются неизмеримыми по Лебегу. В случае принятия гипотезы измеримых кардиналов все A2 являются измеримыми. Детальный сравнительный анализ различных расширений ZFC дан в работах П.Мадди¹¹.

Такая точка зрения наиболее согласуется с научной практикой. С одной стороны, все обоснованные математические теории являются адекватными математическим канонам. Но, с другой стороны, появляются попытки построить значимые математические теории, которые учитывали бы факторы, характерные для методологического натурализма. С одной стороны, строятся теории, которые исходят из ограниченности некоторых интеллектуальных ресурсов (обычная идея ресурности из философии науки, связанные с экономическими подходами к ее решению); с другой стороны, от математики начинают требовать возможность эффективного применения в приложениях.

К теориям, учитывающим ограниченные возможности интеллектуального созерцания, несомненно, относятся робинсоновский нестандартный анализ, вопенковская альтернативная теории множеств, а мизесовско-рейхенбаховская статистика эффекттивна для приложений. В робинсоновской теории, в некотором смысле воплотившей мечту Лейбница, принимались во внимание, как ограниченные возможности интеллектуального созерцания бесконечно малых величин, так и необходимость физики в оперировании математическими объектами, имеющими небольшие, но не бесконечно малые параметры, такие как объем, скорость и другие характеристики. В альтернативной теории множеств Вопенки бесконечных множеств нет, их роль выполняют достаточно большие, размытые, но не бесконечные множества, что в принципе позволяет сделать ссылку на аналогию бесконечных множеств и больших множеств у Куайна не нужной. Эффективность статистической теории, созданной Мизесом и Рейхенбахом, заключается, во-первых, в том, что объекты этой теории имеют эмпирический характер простой структуры, состоящей из двух компонент, а именно, номера эксперимента и результата эксперимента; во-вторых, в этой теории статистические характеристики не получают онтологический статус априори. Необходимым и достаточным условием для обладания онтологическим статусом для статистических характеристик является их устойчивость.

Подведем итоги. Концепция методологического натурализма в куайновском варианте не адекватна математической практике. Во-первых, в математике считаются обоснованными только такие результаты, для которых найдено доказательство с помощью аксиом и правил вывода, посредством которых достигается переход от истинных ранее доказанных утверждений к другим истинным утверждениям, полученным в рамках аксиоматических систем. Согласно же Куайну получается, что ученого-математика, прежде всего, интересует не доказательство результата, а факт его использования в обоснованной естественнонаучной теории, с помощью которой удалось получить правильный прогноз. В соответствии с доктриной Куайна, для того чтобы обосновать результат, математик должен пытаться применить его на практике, а также изучать не математические журналы, а, например, физические, химические и другие не математические источники, для того чтобы узнать о возможных успешных приложениях аналитических методов.

Во-вторых, теория необходимости математики имеет методологический изъян. Предположим, что обоснованный корректный математический аппарат используется в составе слабой научной теории, и что с помощью этой теории получен неправильный прогноз. Если данная математическая дисциплина ранее не использовалась в приложениях, то, согласно Куайну, она не получила подкрепления и не является обоснованной.

В-третьих, в рамках куайновского подхода не всегда различается получение гносеологически обоснованных и только полезных результатов. И последнее: результаты о независимости утверждений о неизмеримости A2 множеств от аксиоматики ZFC не являются препятствием для развития математики. Следование математическим канонам, несомненно, обеспечивает рост математического знания. Определение оценок истинности утверждений, независимых от аксиом, с помощью прагматических, не основанных на математике подходах, предлагаемых Куайном, по-нашему мнению, не способствует прогрессу математического знания.

Методологический натурализм имеет определенное значение для методологии прикладной математики, что же касается философских оснований математики, то в настоящий момент притязания методологического натурализма не убедительны, вследствие этого он не является серьезной альтернативой формализму, логицизму и интуиционизму. Тем не менее, некоторые положения методологического натурализма, например, концепция ограниченности интеллектуальных ресурсов, по-видимому, имеет эвристическое значение для развития философии математики.

Примечания

¹ Hands D.Wade. Economics and contemporary philosophy of science // Proceedings of the 1996 Biennial Meetings of the Philosophy of Science Association Supplement. – 1997. – № 4. – Vol. 64.

² Вальтух К.К. Информационная теория стоимости и системные экономические оценки природных ресурсов // Интеграционные программы фундаментальных исследований СО РАН. – Новосибирск, 1998.

³ Там же.

⁴ Simpson S. Partial realizations of Hilbert's program // The Journal of Symbolic Logic. – 1988. – Vol. 53. – № 2. – P.349–363.

⁵ Maddy P. Indispensability and Practice // The Journal of Philosophy. – 1992. – Vol. XXXIX. – № 6. – P.275–289.

⁶ Алимов Ю.И. Альтернатива методу математической статистики. – М., 1980; Эльясберг П.Е. Измерительная информация: сколько ее нужно? Как ее обрабатывать? – М., 1983.

⁷ Maddy P. Indispensability and Practice.

⁸ Мартин Д. Дескриптивная теория множеств // Справочная книга по математической логике, ч. 2. – М., 1982.

⁹ Pitovsky I. Deterministic models of spin and statistics // Physical Review D, XXVII. – 1983. – № 10. – Р.2316–2326.

¹⁰ Maddy P. Believing the Axioms. I. // The Journal of Symbolic logic. –1988. – № 2. – Р.481–511.

¹¹ Maddy P. Believing the Axioms. II. // The Journal of Symbolic logic. –1988. – № 3. – Рp.736–764.