А. В. Бессонов

ИСТИННОСТЬ КАК ОПЕРАТОР И ПАРАДОКС ЛЖЕЦА

Парадокс лжеца, имеющий древнюю историю, формулируется в нескольких различных версиях, одна из которых принадлежит представителю мегарской школы Эвбулиду (IV в. до н. э.). Эвбулид рассматривал ситуацию, в которой некто говорит “То, что я говорю сейчас, – ложно”. Легко понять, что данное предложение истинно, если то, что говорит этот человек, ложно, т.е. если само это предложение ложно. Но оно может быть ложным только тогда, когда то, что он говорит, не является ложным, т.е. если анализируемое предложение истинно. Итак, предложение, сформулированное Эвбулидом, истинно тогда и только тогда, когда оно ложно.

Многочисленные попытки разрешения парадокса лжеца, имеющие столь же давнюю историю, что и сам парадокс, в наше время трансформировались в задачу построения непротиворечивой и адекватной логической теории истины. Начиная с работ А.Тарского¹, логики для непротиворечивого выражения понятия истинности используют формальные языки современных логических исчислений. Сам Тарский строил логическую теорию истины в рамках исчисления предикатов. При этом для выражения истинности предложения р использовалось предикатное выражение Т(“р”), где Т – предикат истины, а “р” – имя предложения р, и задача логической теории истины сводилась к требованию построения непротиворечивого определения предиката истины.

Тарский полагал, что причиной парадокса является семантическая замкнутость естественного языка, под которой он понимал универсальность языка в отношении выражения истинности своих предложений, т.е. то, что истинность предложений языка может быть выражена в нем самом². Поэтому единственную возможность избежать антиномии он видел в запрещении использования выражений для истинности предложений языка в самом этом языке. В соответствии с таким подходом определить истинность относительно предложений некоторого языка мы можем лишь в отличном от него метаязыке, истинность относительно предложений этого метаязыка – в отличном от него метаметаязыке и так до бесконечности. И все это относится к любому первоначально взятому языку, каким бы простым он ни был, что резко противопоставляет теорию Тарского обычной практике использования понятия истинности на неформальном уровне даже в языке науки, не говоря уже о естественном языке.

Попытки преодолеть недостатки теории Тарского связаны с привлечением иных технических средств для выражения истинности. Естественным кажется обращение к трехзначной логике, средствами которой предикат истины, хотя и не всюду определенный, может быть непротиворечиво выражен внутри языка³. Однако, если рассматривать суждение лжеца с позиций трехзначной логики, то в ней это суждение (и следствия из него) вовсе не являются чем-то неприемлемым. Подобные суждения в трехзначной логике имеют вполне нормальное -третье значение истинности (“неопределенно”), аналогичное значению истинности, например, предложения “снег истинен”. К тому же в трехзначной логике не выполняется закон исключенного третьего, используемый при выводе парадокса, и из суждения лжеца не следует никакого противоречия.

Таким образом адекватная, отвечающая существу дела экспликация проблемной ситуации, связанной с парадоксом, с необходимостью должна осуществляться средствами двузначной логики. Заметим, что в рамках классических двузначных исчислений парадоксальное суждение не может трактоваться как атомарное, исходное в анализе, так как в таких исчислениях все атомарные предложения рассматриваются как заведомо имеющие вполне определенное значение истинности. Поэтому при построении логической теории истины обязательно предполагается, что суждения, не содержащие выражений для истинности, сами по себе не приводят к нежелательным выводам и лишь введение в язык выражений для истинности может привнести парадоксальные следствия.

Какие технические средства, отличные от предиката, могут использоваться в рамках двузначной логики для адекватного выражения понятия истинности? Известно, что в естественном языке истинность используется и как предикат, и как оператор. Если с помощью предиката Т истинность некоторого предложения р выражается через Т(“р”), где “р” – имя предложения, то оператор Т(р) по смыслу соответствует фразе “истинно, что р”, где р – само предложение, а не его имя. Например, фраза “истинно, что сейчас хорошая погода” выражает истинность предложения “Сейчас хорошая погода”. С формальной точки зрения оператор истинности ставит в соответствие предложению р новое предложение Т(р), значение истинности которого должно, очевидно, совпадать со значением истинности предложения р.

Является ли выражение истинности посредством оператора менее естественным или в чем-то менее адекватным по сравнению с предикатом? Практически все логики считают, что утверждение об истинности предложения должно иметь в точности ту же дедуктивную силу, что и само предложение, или даже, что два этих суждения должны быть полностью эквивалентными. Наиболее радикально эта позиция выражена Дж.Муром: «Суждение, что “Солнце сияет, истинно” эквивалентно и, возможно, тождественно с обычным “Солнце сияет”, которое не говорит ничего о предложениях и не влечет того, что они вообще имеются, поскольку Солнце могло бы, очевидно, сиять, даже если бы никто об этом не говорил»⁴. (Это требование выражено в логической теории истины критерием материальной адекватности, т.н. Конвенцией Т, в соответствии с которой для любого предложения р предложение Т(“р”) « р должно быть логическим следствием такой теории.) В то же время, использование предиката и имен предложений для выражения истинности приводит к тому, что суждение об истинности какого-либо предложения содержит информацию об определенной процедуре именования предложений языка, т.е. информацию, которую предложение как таковое, вообще говоря, не содержит. Использование же оператора лишено этого недостатка. Естественность представления истинности оператором подтверждается также тем обстоятельством, что парадоксальная ситуация может быть смоделирована и в данном представлении.

Вообще говоря, попытка смоделировать парадоксальную ситуацию с помощью оператора истинности не является очевидным шагом. Дело в том, что различные версии парадокса объединяет то обстоятельство, что противоречие возникает в них при попытке определить значение истинности самосоотнесенного высказывания, т.е. высказывания, в той или иной форме выражающее суждение о самом себе (в данном случае выражающее суждение о своем собственном значении истинности). В стандартном предикатном подходе для формализации парадоксального суждения используются конструкции типа:

(*) 				Предложение (*) ложно, 

где (*) понимается как имя предложения, написанного в середине строки. Возможно ли в принципе смоделировать самосоотнесенность без использования имен предложений? С.Феферман, рассматривая ситуацию с оператором истинности, полагает, что в данном случае “... самосоотнесенность не предоставляет возможности построить j, такое, чтобы выполнялось j « ^щT _j“⁵. Однако, если понимать самосоотнесенность как возможность высказываний выражать суждения о самих себе, то для ее осуществления вовсе не обязательно прибегать к именованию предложений, использованию предиката истинности и т.п. В парадоксальном “Я сейчас лгу” вовсе не обязательно “неявно предполагать” процедуру именования предложений, трактовку истинности как свойства предложений или что-нибудь подобное. Возможность высказываний выражать суждения о самих себе имеется уже и в самом невинном классическом исчислении высказываний. Действительно, его схемы аксиом всегда приводят к истинным высказываниям и при подстановке на место переменных в аксиомах самих аксиом. Например, если на место переменной р в аксиоме р Ъ ^щр подставить саму эту аксиому, то полученное высказывание истинно. И такого рода непредикативность никак не препятствует непротиворечивости классического исчисления высказываний.

В то же время ситуация, аналогичная парадоксу лжеца, при специальном предположении может быть смоделирована и в рамках выразительных возможностей классического исчисления высказываний. Рассмотрим высказывание “Я отрицаю то, что я сейчас говорю”. Легко понять, что вопрос о том, утверждается или отрицается данное высказывание, приводит к парадоксу: если это высказывание отрицается, то оно утверждается, и наоборот. На наш взгляд, приведенное высказывание (особенно если учитывать требование эквивалентности суждения и утверждения о его истинности) по смыслу полностью совпадает с суждением лжеца. Оно очевидным образом формализуется в исчислении высказываний следующим образом: р* « ^щ р*, из чего немедленно следует противоречие.

Означает ли это, что непредикативное использование отрицания приводит к противоречию, и что определить непротиворечивым образом отрицание относительно предложений некоторого языка можно только в отличном от данного языка метаязыке и т.д. по-Тарскому? Приведенный нами парадокс означает лишь то, что предложение р* не может быть взято как атомарное в классическом исчислении высказываний, поскольку условием применимости последнего является то, что значение истинности любого атомарного высказывания однозначно определено. Атомарное высказывание может быть или истинным, или ложным. При этом условии высказывания, подобные вышеприведенному, не могут быть доказуемы в классическом исчислении высказываний.

Для тех, кто посчитает неправомерной аналогию между классическим парадоксом лжеца и приведенным выше “парадоксом отрицателя”, рассмотрим ситуацию, когда классическое исчисление высказываний пополняется оператором истинности Т. В этом случае парадоксальное суждение, т.е. суждение, эквивалентное по своему смыслу суждению о своей собственной ложности, может быть формализовано, например, выражением р* « ^щТ(р*). В совокупности с условием адекватности: р* « Т(р*) это опять дает р* « ^щ(р*), что приводит к противоречию. И мы, как и выше, можем констатировать, что предложение р* не может быть взято как атомарное. Но оно не может быть и выведено в таком исчислении. Рассмотрим ситуацию с более формальной стороны.

Расширим язык классического исчисления высказываний путем прибавления символа Т и условия: если р – формула, то Т(р) -формула; если р – предложение (пропозициональная константа), то Т(р) – предложение. Т понимается как оператор истинности, в данном случае даже как одноместная пропозициональная функция, значение истинности которой совпадает со значением истинности аргумента. Введем теперь схему аксиом:

(*)0  				Т(р) « р, 

в которую на место переменной могут подставляться любые формулы, в том числе и содержащие символ Т. Очевидно, что полученное исчисление является консервативным расширением классического исчисления высказываний. Действительно, мы можем толковать Т(р) как сокращение выражения  р, т.е. как двойное отрицание р, либо как оператор тождества, т.е. просто убрать все вхождения символа Т.

Пусть теперь некоторая теория L⁰ такова, что ее логика не противоречит классическому исчислению высказываний, т.е. ее формулы суть функции истинности, а значение истинности любого предложения однозначно определено. В этом случае добавление к языку теории оператора Т и единственной аксиомы (*)⁰ дает адекватную и непротиворечивую теорию истинности предложений языка расширенной теории. Действительно, для любого предложения g расширенной теории предложение T(g) « g доказуемо подстановкой в (*)⁰, а противоречивость расширенной теории, могла бы следовать только из противоречивости теории L⁰. При этом нам не пришлось прибегать к бесконечной иерархии языков: истинность всех предложений расширенной теории, а не только предложений теории L⁰, выразима без ограничений в ней же самой.

С помощью оператора мы можем смоделировать парадокс лжеца и в его другой распространенной версии, когда суждение звучит как “Все, что я говорю – ложно”. Для этого нам понадобится использовать квантификацию по пропозициональным переменным. Такие кванторы трактуются как подстановочные: ($р)R(p) истинно, если подстановка некоторого предложения на место переменной p в R(p) приводит к истинному предложению; ("p)R(p) истинно, если подстановка любого предложения на место переменной p в R(p) приводит к истинному предложению. В этом случае парадоксальное высказывание выражается, например, предложением

(1)				 ("p) щT(p). 

Нетрудно заметить, что при выводе противоречия из суждения “Все, что я говорю – ложно”, используется предположение о том, что либо данное высказывание – единственное, либо все остальные высказывания ложны. Иначе суждение лжеца в этой форме вовсе не приводит к парадоксу, а становится просто ложным. В соответствии с этим предположением условимся считать, что класс допустимых подcтановок на место квантифицируемой переменной p состоит из одного-единственного предложения (1). Тогда по Конвенции T мы имеем

(2)				 Т((“р) щТ(р)) « ("р) щТ(р), 

а учитывая, что предложение (1) – единственное в классе допустимых подстановок, получаем

(2')				 ("p) щT(p) « T(("p) щT(p)) 

[(“p)T(p) « T(p*), если p* – единственное предложение в классе допустимых подстановок]. Но эквивалентности (2) и (2') в совокупности и дают вывод парадокса:

Т(("р) ^щТ(р)) « ("р) ^щТ(р) « ^щT(("p) ^щT(p)),

т.е. предположив истинность предложения (1), мы приходим к выводу о его ложности, и наоборот.

В исчислениях, построенных по обычным принципам классического исчисления высказываний, предложения типа (1) не могут, как уже выше говорилось, быть взяты в качестве атомарных предложений. Кроме того, в таких исчислениях не могут быть реализованы предпосылки, при которых суждение лжеца в рассматриваемой форме является парадоксальным, а не просто ложным. В них класс допустимых подстановок никогда не содержит единственное предложение и не может быть ситуации, когда “все остальные предложения ложны”, т.к. если имеется хотя бы одно предложение, отличное от высказывания лжеца, то в случае его ложности его отрицание также будет предложением, причем истинным.

Для построения адекватной теории истины в языке с квантификацией по пропозициональным переменным⁶, расширим язык классического пропозиционального исчисления путем прибавления символов " и $ для кванторов, а определение формулы расширяется так, что если R(p) – формула, содержащая свободные вхождения пропозициональной переменной p, то ("p)R(p), ($p)R(p) – формулы. Кванторы, как мы уже говорили, имеют подстановочную интерпретацию. Дедуктивный аппарат получается из аксиом и правил вывода исчисления предикатов первого порядка, например, с помощью fp-преобразования⁷. В результате аксиомы полученного исчисления L включают:

1) все схемы аксиом классического пропозиционального исчисления;

2) 				R(p) ® ($p)R(p);  ("p)R(p) ® R(q), 

а правила вывода наряду с правилом modus ponens содержат также два правила

3а)      и  3б)    

с обычными ограничениями на вхождения переменных.

Расширим далее язык исчисления L путем прибавления символа T и условия: если R – формула, то T(R) – формула. Класс аксиом расширим, добавив аксиому

(*)1 				("p)(T(p) « p). 

Легко понять, что полученное исчисление LT непротиворечиво, если непротиворечиво исчисление L: также, как и ранее, мы можем толковать T(p) как сокращение выражения ^{щ щ}p, либо как оператор тождества, т.е. просто убрать все вхождения символа T.

Что касается непротиворечивости исчисления L, то, как кажется на первый взгляд, тут не может быть каких-либо сомнений, поскольку оно представляет собой ни что иное, как упрощенный вариант исчисления предикатов первого порядка. К тому же использование кванторов по пропозициональным переменным широко используется в логике на неформальном уровне. Однако, как оказалось, это требует дополнительных пояснений: “Это (непротиворечивость исчисления L – А.Б.) не очевидно и не доказано. Трудность состоит в том, что не очевидно, что введенная непредикативная (т.е. такая, что на место переменной p в предложение ("p)F(p) может подставляться само это предложение – А.Б.) подстановочная квантификация не противоречит классической логике”⁸.

Однако, поскольку исчисление L надстраивается над классическим двузначным исчислением предикатов, предложения в нем понимаются как принимающие лишь два значения – истинно и ложно. Поэтому мы можем понимать, например, формулу ("p)R(p) как сокращение для R(p v ^щp) & R(p & ^щp). Рассуждая более строго, предположим, что исчисление L противоречиво. Тогда таковым же должно быть исчисление L₁, полученное из L путем прибавления двух аксиом:

("p)R(p) « (R(p v ^щp) & R(p & ^щp)),

($p)R(p) « (R(p v ^щp) v R(p & ^щp)).

Однако в исчислении L₁ кванторы могут быть элиминированы, и при этом введенные при построении исчисления L дополнительные к классическому пропозициональному исчислению аксиомы и правила вывода не расширяют класс доказуемых формул последнего. Это элементарно проверяется индукцией по длине вывода.

Для примера рассмотрим случай применения правила вывода 3б. Пусть в результате получена не тождественно-истинная формула (R(p v ^щp) v R(p & ^щp)) ® S. Она может быть таковой только тогда, когда при некотором наборе V истинностных значений свободных переменных, входящих в S (среди которых, естественно, нет переменной р), S принимает значение “ложно”, в то время, как антецедент импликации истинен. Поскольку антецедент представляет из себя дизъюнкцию, он истинен, когда один из дизъюнктов истинен. Если истинен первый дизъюнкт, то при том же наборе V формула R(p) ® S будет ложной, когда переменная р принимает значение “истинно”, а если истинен второй – когда р принимает значение “ложно”. Таким образом, мы можем получить не тождественно-истинную формулу как следствие применения правила вывода 3б только тогда, когда посылка вывода также является не тождественно-истинной. Аналогично проверяются и остальные возможные шаги вывода.

Таким образом, исчисление L₁ непротиворечиво, и, следовательно, непротиворечиво исчисление L, т.е. его непредикативность (которая имеет тот же самый смысл, что и непредикативность исчисления высказываний) не приводит к противоречию. А это означает, что непротиворечиво построенное выше исчисление LT. Поскольку же допустимыми подстановками в пропозициональные переменные в этом исчислении являются все предложения, как не содержащие символ Т, так и включающие его, это исчисление является универсальной теорией истины, т.е. оно материально адекватно и непротиворечиво выражает истинность всех предложений языка в самом этом языке.

Примечания

¹ Tarski A. The concept of truth in formalized languages // Logic, semantics, metamathematics, Papers from 1923 to 1938, by Alfred Tarski. — L., 1956. — P. 152-278.

² Tarski A. The semantic conception of truth // Semantics and the philosophy of language / Ed. by L.Linsky. — L., 1952. — P. 13-47.

³ См.: Kripke S. Outline of a theory of truth // Journal of philosophy. — 1975. — 72. — P. 690-716; Gupta A. Truth and paradox // Journal of philosophical logic. — 1982. — 11.— P. 1-60.

⁴ Цит. по: The encyclopedia of philosophy, vol. 2. — N.-Y., 1967. -P. 229.

⁵ Feferman S. Toward useful type-free theories. // Recent essays on truth and liar paradox / Ed. by R.Martin — Oxford: Clarendon Press. — 1984. — P. 245.

⁶ Подробнее см.: Бессонов А.В. Предметная область в логической семантике. — Новосибирск: Наука, 1985. — С. 86-94.

⁷ Фейс Р. Модальная логика. — М.: Наука. — 1974.— C. 160-161.

⁸ Анонимный рецензент Notre Dame journal of formal logic, 1995, личная переписка.

© 1997 г. Институт философии и права СО РАН,
Новосибирск