О бесконечном – 2

Л.Н. Победин

* Работа поддержана грантами Минобразования РФ в области гуманитарных наук (ГОО–1.1–391), Межвузовской программы “Университеты России – фундаментальные исследования” (015.10.01.32), а также Института “Открытое общество” (Фонд Сороса), Россия (НВА 003).

Данная работа является продолжением статьи, опубликованной в предыдущем номере журнала [1], и посвящена методологическим аспектам возникновения самого понятия бесконечного. Появление этого понятия относится к тем временам, когда была одна наука – философия, которая включала в себя познания в математике, физике, астрономии и других дисциплинах. Дифференциация наук привела к возникновению собственно математического понятия бесконечности, которое получило феноменальное развитие в канторовской теории множеств. Последовавшее за этим обилие математических результатов оставляло философии лишь роль комментатора наиболее парадоксальных математических положений. В настоящее время, когда здание аксиоматической теории множеств в общем и целом построено, можно приступить к изучению особенностей этого сооружения. Возникающие при этом вопросы неизменно сводятся к тому, какой аспект бесконечности положен в основу данной теории. Имеется в виду не традиционное различие между актуальной и потенциальной бесконечностью, отмеченное нами ранее [2]. Длительная дискуссия по поводу взаимоотношения этих двух типов бесконечности привела только к тому, что можно принять ту или иную точку зрения в зависимости от того, какая аргументация – “за” или “против” – больше понравилась. Выяснению же сущности самого понятия бесконечности такая дискуссия не способствует и поэтому в настоящее время практически не ведется.

Мы намерены обсудить отношение канторовской теории множеств к реальности. Практически сразу возникает ощущение, что вопрос этот во многом искусственный и его обсуждение вряд ли может привести к какому бы то ни было взаимоприемлемому результату. Тем более, что вообще непонятно, что следует подразумевать под такой расплывчатой категорией, как “реальность”. Однако подобное ощущение обманчиво.

Прежде всего, этот вопрос перестал быть искусственным после впечатляющих результатов П. Коэна, касающихся континуум-гипотезы. Математика развивала одну теорию множеств, а получила, как минимум, две: одну с принятием континуум-гипотезы, другую с ее отрицанием. И тогда естественно возникает вопрос, какая из них более реальна. Это действительно сложная методологическая проблема, и теория множеств ее поставила. В настоящее время, чтобы как-то уяснить себе эту проблему, большинство математиков разделяют следующую, явно или неявно высказанную, точку зрения: можно дальше развивать одну теорию множеств, можно и другую, ничего в этом странного нет, такова математическая реальность. Такая точка зрения с принятием категории “математическая реальность” некоторым образом оправданна, и это оправдание содержится в самой истории развития математики. Действительно, категория “математическая реальность” обладает одним примечательным свойством: если на первый взгляд даже самая странная теория получает законченное математическое оформление, то физическая реальность не заставляет себя долго ждать, и такая математическая теория рано или поздно находит себе применение на практике. Ярким примером тому является мирное сосуществование двух геометрий: евклидовой и неевклидовой. Автор также разделяет эту точку зрения, только с одним добавлением: в аксиоматической теории множеств математика встретилась с новым феноменом, не имеющим прецедентов в истории, и на мирное сосуществование в будущем двух теорий множеств надеяться не приходится.

Вопрос об отношении теории множеств к реальности мы сводим к вопросу об отношении конечного и бесконечного. Что происходит с понятиями конечности и бесконечности в канторовской теории множеств? Желая подвергнуть анализу этот вопрос, мы вступаем на философско-методологическую территорию. В существующей философской традиции интересующая нас проблема наиболее полно изложена у Гегеля. Мы имеем в виду его капитальный труд “Наука логики” [3], в котором достаточно места отведено обсуждению проблемы взаимоотношения понятий конечного и бесконечного. К краткому изложению и комментарию этой проблемы мы и переходим.

Взаимоопределение конечного и бесконечного. Именно так называется отдельный параграф главы второй упомянутого труда Гегеля. Что такое бесконечное? Уже самое название демонстрирует, что бесконечное противостоит всему конечному. То обстоятельство, что мы выводим само название бесконечного из названия конечного, указывает нам сверх того, что мы представляем себе понятие бесконечного происходящим из понятия конечного вследствие присоединения к нему новой составной части, – такой частью является уже понятие простого отрицания.

Итак, мы сделали первый шаг и определили бесконечное как отрицание конечного. Гегель подвергает всестороннему анализу такое определение бесконечного. В этом определении “бесконечное сведено к той категории, что ему противостоит конечное как некое иное” [4]. Таким образом, имеются два мира: мир конечный и мир бесконечный. Эти миры разделены. «Оба ставятся в различные места: конечное как здешнее наличное бытие, а бесконечное, хотя оно и есть “в-себе” конечного, все же как некое потустороннее перемещается в смутную, недостижимую даль, вне которой находится и остается конечное»; “но отделенные друг от друга, они столь же существенно соотнесены друг с другом именно разлучающим их отрицанием” [5].

Действительно, теперь мы можем определить конечное как простое отрицание бесконечного. “Имеется взаимоопределение конечного и бесконечного; конечное конечно лишь в соотношении с долженствованием или бесконечным. Они неотделемы друг от друга и в то же время всецело иные в отношении друг друга; каждое из них имеет в себе свое иное; таким образом, каждое есть единство себя и своего иного и есть в своей определенности наличное бытие, состоящее в том, чтобы не быть тем, что оно есть само и что есть иное” [6].

Далее Гегель замечает, что именно это взаимоопределение, отрицающее само себя и свое отрицание, можно продолжать сколь угодно долго: “и так далее до бесконечности”. И в этом месте мысль считает свою цель достигнутой. Но мысль самого Гегеля в этом месте не останавливается. Рассматривая бесконечный процесс взаимоопределения конечного и бесконечного, это одно и то же скучное чередование конечного и бесконечного, Гегель приходит к выводу, что мы имеем дело не с истинной бесконечностью, а только с отрицательной ее формой. Эта внешняя форма фиксирует качественное различие конечного и бесконечного, и притом фиксирует абсолютно. Но сам бесконечный процесс взаимоопределения конечного и бесконечного указывает на единство этих двух понятий. Однако данное единство не делается предметом особых размышлений.

В разделе “Утвердительная бесконечность” Гегель вводит понятие истинно бесконечного. Сначала он замечает, что бесконечное может быть определено как отрицание конечного, а конечное может быть определено как отрицание бесконечного и что оба эти определения равноправны. Но они не являются еще истинными определениями. Теперь каждое из этих понятий может быть определено через двойное отрицание. “Таким образом, оба, конечное и бесконечное, суть движение, состоящее в возвращении к себе через свое отрицание; они даны лишь как опосредствование внутри себя, и утвердительное обоих содержит отрицание обоих и есть отрицание отрицания” [7].

Таким образом, “бесконечное, каково оно на самом деле, есть процесс, в котором оно низводит себя до того, чтобы быть лишь одним из своих определений, противостоять конечному и, значит, быть самому лишь одним из конечных, а затем снимает это свое отличие от себя самого для утверждения себя и есть через это опосредствование истинно бесконечное” [8].

Далее, используя категорию бытия, Гегель проводит сравнительный анализ двух определений бесконечного и приходит к поразительным выводам. Называя первое определение бесконечного (как отрицание конечного) дурным бесконечным, он пишет: “…Только дурное бесконечное есть потустороннее, ибо оно лишь отрицание конечного, положенного как реальное; таким образом, оно абстрактное, первое отрицание; будучи определено лишь как отрицательное, оно не имеет в себе утверждения наличного бытия; фиксированное как только отрицательное, оно даже не должно быть здесь – оно должно быть недостижимым. Но эта недостижимость есть не величие его, а его недостаток, который имеет свое последнее основание в том, что конечное как таковое, удерживается как сущее. Неистинное есть недостижимое; и легко усмотреть, что такое бесконечное неистинно” [9].

Относительно же истинно бесконечного Гегель утверждает, что “оно есть и оно есть здесь, в данный момент, налично” [10].

Таким образом, бесконечное по Гегелю: а) есть в простом определении утвердительное как отрицание конечного; б) тем самым находится во взаимоопределении с конечным и есть абстрактное, одностороннее бесконечное; в) есть само снятие этого бесконечного, а равно и конечного, как единый процесс – оно есть истинное бесконечное.

Бесконечное в канторовской теории множеств и альтернативная бесконечность. Канторовская теория есть теория актуально бесконечных множеств. В этой теории бесконечность является противоположностью конечному. Ординальные числа, характеризующие типы вполне упорядоченных бесконечных множеств, находятся за пределами всего конечного. Эти числа реально недостижимы и являются мыслимыми идеальными понятиями. Но порицать какую-либо теорию за использование идеальных понятий – значит порицать вообще математику. Посмотрим, что происходит в канторовской теории с реальным понятием бесконечного. Оказывается, классическая теория множеств наделяет понятие конечного абсолютной определенностью, так что, скажем, число 5 и число атомов во Вселенной считаются конечными в одном и том же смысле. Приложимость такой теории к физическим моделям, в которых изучаются новые эффекты, возникающие при различных конечных порядках, весьма проблематична. Но такое свойство конечного проблематично и в самой математике, – например, когда говорят, что любое доказательство имеет конечную длину и его можно закодировать геделевским номером (некоторым натуральным числом). Все-таки доказательство длиной в 10 шагов и в 10 триллионов шагов качественно различаются, хотя оба конечны в канторовской теории.

Возвращаясь к предпринятому Гегелем анализу понятий конечного и бесконечного, можно отметить, что канторовская теория множеств формализовала лишь один аспект бесконечности – отрицательную бесконечность, которая противоположна конечному. Но такой аспект бесконечного не является, по Гегелю, еще истинно бесконечным и, стало быть, оставляет возможность иных подходов.

Один из таких подходов предложен П. Вопенкой в его альтернативной теории множеств [11]. В этой теории бесконечность естественно возникает из бытовых наблюдений и размышлений над такого рода вопросами: сколько песчинок находится на данном пляже? С одной стороны понятно, что количество этих песчинок может быть выражено хотя и очень большим, но конечным натуральным числом. А с другой стороны, какое это число, мы точно не знаем. Можно еще различить сто тысяч или миллион песчинок, но далее число песчинок все труднее поддается счету, а совокупность их становится нечеткой. Оказывается, что нечеткая совокупность и может играть роль бесконечного множества. Походит ли такая естественная бесконечность, как ее называет П. Вопенка, на истинно бесконечное Гегеля? Разумеется, альтернативная бесконечность отличается от философской бесконечности Гегеля, которую он представляет как отрицание отрицания. Но обратимся к свойствам альтернативной бесконечности. Прежде всего, альтернативная бесконечность не противостоит конечному, а непосредственно выходит из него. В свою очередь, конечное не противостоит бесконечному и может быть конечным в одной модели и играть роль бесконечного в другой. Отметим, что модели с таким качественным различением конечных величин могут быть более адекватными для описания физических явлений. Но самое главное – это то, что альтернативная бесконечность находится не в потустороннем мире, а в конечном мире, “она есть и она здесь”, что, по мнению Гегеля, является основной характеристикой истинно бесконечного.

В альтернативной теории множеств можно формализовать и ординальные числа, но это требует отдельного рассмотрения.

Примечания

1. См.: Победин Л.Н. О бесконечном // Философия науки. – 2001. – № 1(9). – С.91–98.

2. Там же.

3. См.: Гегель Г. Наука логики. – М.: Мысль, 1999.

4. Там же. – С.133.

5. Там же. – С.134.

6. Там же. – С.136.

7. Там же. – С.143.

8. Там же.

9. Там же. – С.145.

10. Там же.

11. См.: Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. – М., 1983.

Новосибирский государственный

университет, г.Новосибирск

Pobedin, L.N. On the infinite – 2.

The paper goes on with comparative analysis of classical and alternative concepts of infinity, which was started earlier. Taking into account Hegel’s view on infinity, the author defines both types of infinity and demonstrates that alternative infinity is more natural than classical one.