ДИНАМИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ИНЕРЦИАЛЬНОГО

Б.И.Пещевицкий

Как известно, в европейском обществе в течение почти 2000-летнего периода господствовало аристотелевское миропонимание. Первым шагом на пути его преодоления было введенное Коперником представление о правомерности (и необходимости!) рассматривать природные явления с позиции любого тела (любой точки) во Вселенной, а не только, по Птолемею, по отношению к Земле. Именно этот методологический прием [1] позволил Копернику открыть гелиоцентрическую систему мира, а Галилею – принцип относительности движения. При этом Галилей подразделил все движения на два класса: “естественные” (свободные) и “принудительные” (несвободные).

Вторым принципиальным методологическим шагом было решение Галилея рассматривать физическое состояние на механической системе (например, в трюме корабля) как основу для отнесения движения (состояния) данной системы к тому или иному динамическому классу. На этом пути Галилей обнаружил (в “Диалогах” [2]), что покой и равномерное движение по поверхности Земли (по окружности) должны быть отнесены к одному и тому же классу естественных движений (состояний). Однако он не рассмотрел физического (динамического) состояния на корабле при его движении c переменной (по величине) скоростью, т.е. для класса принудительных движений.

Третьим логически последовательным шагом должно было бы быть выяснение конкретных различительных динамических признаков для этих двух классов движения: естественного (теперь – инерциального) и принудительного (теперь – неинерциального). Однако этого не произошло. По-видимому, в то время еще не было достаточного количества фактического материала о физических состояниях на ускоренно движущихся системах. Так или иначе, этот третий шаг сделан не был, и Ньютон построил свою механику (1687 г.) на других основаниях [3].

Не будем останавливаться на заслугах Ньютона – они велики и всем хорошо известны. Отметим все же, что им сформулированы два самых главных динамических закона: второй закон механики (для неинерциального движения пробных тел в инерциальной системе отсчета) и закон всемирного тяготения (для гравитационного взаимодействия непробных тел). Однако Ньютон не опирался ни на достижение Коперника (“первый шаг”, 1543 г.), ни на достижение Галилея (“второй шаг”, 1632 г.), ни на предложение Гука [4] измерять силу по величине деформации упругого тела (1678 г.). В качестве критериев классификации движений он использовал только чисто кинематические характеристики. Между тем ясно, что использование только кинематических характеристик не позволяет охватить все различительные признаки существующих разнообразных видов движений.

Этим вопросам посвящены две ранее опубликованные нами работы [5]. В них показано, что адекватным критерием неинерциального состояния является не кинематический, а динамический. Согласно этому критерию неинерциальное состояние характеризуется неоднородными деформациями твердого тела. Таким образом,

– инерциальному состоянию (без действия сил) соответствует невесомость; при этом локальное пространство (отнесенное к координатам данной системы отсчета) однородно и изотропно, все точки такого пространства физически равноправны;

– неинерциальному состоянию (в результате действия силы) отвечает весомое состояние; при этом локальное пространство неизотропно и неоднородно. В “выделенном” направлении (в направлении действия “двигательной” [6] силы) оно асимметрично: перемещение тела в этом направлении требует затраты работы. В обратном направлении тело будет ускоренно двигаться само по себе, без каких-либо силовых воздействий.

С учетом динамических (физическое состояние на движущемся теле) и энергетических (кинетическая (T ), потенциальная (U), полная (E) энергии [7]) характеристик мы получаем семь классов различного вида движений, которые представлены в таблице.

Характеристики линейных поступательных
движений тела вдоль оси Х

№	Вид движения	Состояние на теле	dx/dt	g	U	E = T + U
А. Относительно инерциальной системы отсчёта
1	Покой	невесомое	= 0	= 0	= 0	= 0
2	Равномерное	невесомое	= const	= 0	= 0	= const
3	Ускоренное	весомое	¹ const	¹ 0	= 0	¹ const
Б. Относительно неинерциальной системы отсчёта
4	Ускоренное	невесомое	¹ const	= 0	¹ const	dT = /- dU
5	Покой	весомое	= 0	¹ 0	= const	T = 0
6	Равномерное	весомое	= const	¹ 0	¹ const	dT = 0
7	Ускоренное	весомое	¹ const	¹ 0	¹ const	dT ¹ 0

При современном изложении классической механики отмечается, что известные законы механики Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета – системах, на которые никакие внешние силы не действуют [8]. Как видно из этой таблицы, полная классификация поступательных линейных движений пробных тел не ограничивается только этими тремя вариантами движений в инерциальных системах отсчета (строки 1–3). Существует еще четыре варианта движений тел в неинерциальных системах (строки 4–7). Однозначным же критерием инерциального движения (состояния) тела (строки 1, 2, 4) относительно любой системы отсчета является условие g = 0, т.е. невесомое состояние на движущемся теле и соответствующее ему отсутствие неоднородных деформаций.

Остановимся на некоторых деталях описания движений пробных тел в неинерциальной системе отсчета. По-прежнему ограничимся рассмотрением только линейных движений, так как любое криволинейное движение есть геометрическая сумма трех независимых линейных движений по ортогональным осям декартовых координат.

Пусть имеется три тела: тело № 1 в невесомом состоянии с размещенной на нем инерциальной системой отсчета К (x, y, z, t); тело № 2 массой т₂, на которое действует сила F₀ (по оси Х¢) и на котором размещена неинерциальная система К¢ (x¢, y¢, z¢, t); тело № 3 массой т₃ , на которое действует сила F в том же направлении, что и сила F₀. Пусть оси Х и Х¢ систем отсчета № 1 и № 2 параллельны и направлены в одну сторону, а силы постоянны. Примем (для простоты), что в начальный момент времени t = 0 тела № 2 и № 3 имеют в системе № 1 нулевые скорость и координату и силы к ним прикладываются одновременно. В инерциальной системе № 1, тела № 2 и № 3 будут иметь ускорения w₂ = F₀/m₂ и w₃ = F/m₃, и пусть w₃ > w₂. Пути движения этих тел (за одинаковое время) обозначим через х₂ и х₃, причем х₂ = w₂ t ²/2 и х₃ = w₃ t ²/2 (см. рисунок).

Слева: взаимное расположение тел в момент старта (t = 0).

Справа: их расположение к моменту времени t.

Очевидно, что при этом тело № 3 относительно тела № 2 будет двигаться с ускорением

а = w₃ – w₂ = F/m₃ – F₀/m₂. (1)

Тело же № 1 (в неинерциальной системе отсчета К¢ тела № 2) будет двигаться, оставаясь в инерциальном состоянии, с ускорением

g = – F₀/m₂, (2)

т.е. g < 0. Этот вектор будет иметь и тело № 3. В результате его движение в неинерциальной системе тела № 2 будет описываться уравнением баланса ускорений

а = w₃ + g = F/m₃ + g, (3)

или, с учетом знака вектора g, а = F/m₃ – g. Путь же тела № 3 в К¢ будет x¢ = х₃ – х₂ = аt ²/2.

Зависимость (3) представляет собой выражение второго закона механики при описании неинерциального движения тела в неинерциальной же системе отсчета. Она содержит в себе функцию двух независимых переменных. Первое слагаемое правой части уравнения (3) (w₃ = F/m₃) отражает и кинематическую, и динамическую (движение с ускорением w₃, т.е. в весомом состоянии) характеристики тела № 3 – как результат действия на него силы F. Второе слагаемое влияет только на кинематику тела № 3, никак не сказываясь на его динамическом состоянии. Оно отражает качество системы отсчета, в которой ведется описание движения тела № 3.

Аналогично и первый закон в неинерциальной системе содержит две независимые переменные (строка 4 таблицы):

v = v₀ + g t. (4)

В инерциальной системе отсчета, как частном случае, g = 0. При таком условии мы получаем хорошо известную ньютоновскую форму законов. Это является следствием полного динамического равноправия всех инерциальных систем отсчета. Среди неинерциальных систем динамически равноправными будут только взаимно покоящиеся системы (строка 5 таблицы).

Фактически (см. рисунок) переход от описания движения тела № 3 в инерциальной системе № 1 к описанию в неинерциальной системе № 2 отвечает смещению нулей отсчета: пути тела № 3 от точки х = 0 к точке х = х₂ и скорости от w₃ t к v = (w₃ – w₂ )t. Это позволяет выразить энергетическую характеристику движения тела № 3 в неинерциальной системе отсчета № 2 как сумму (функция Гамильтона) или разность (функция Лагранжа) кинетической (Т ) и потенциальной (U ) энергий [9]. В частности, при выражении через ускорения для полной энергии (Е) будем иметь

Е = Т + U = m₃v ²/2 + m₃gx¢ = m₃a(a + g)t ²/2 =

= m₃w₃at ²/2 = Fx¢.

При этом введения никаких “фиктивных” сил [10] не требуется. В выражении (5) фигурируют лишь реальные, действующие на тела № 3 и № 2 двигательные силы F и F₀.

С другой стороны, энергия, которую приобретает тело № 3 относительно начала отсчета неинерциальной системы (№ 2), численно равна той энергии, которую получает тело № 3 под действием силы F в инерциальной системе (№ 1) на пути x¢ = х₃ – х₂ .

Как уже отмечено в предыдущих работах, при неинерциальных движениях тел относительно инерциальных систем отсчета (строка 3 таблицы) совершаемая над телом работа запасается в виде кинетической энергии [11]. Описание же движений в неинерциальных системах требует использования потенциальной энергии (для покоя и равномерных движений, строки 5, 6) или обоих видов энергии (при ускоренных движениях, строка 7). Иными словами, в построениях Лагранжа и Гамильтона использованы (в отличие от построений Ньютона) более широкие формы законов механики для неинерциальных систем отсчета. Этим и объясняется охват ими всех вариантов взаимного движения тел и их адекватность реальному миру [12].

Остановимся более детально на физической сути гравитационного взаимодействия непробных тел. Находясь на поверхности Земли, мы пребываем на системе, которая находится в типичном весомом состоянии. Все покоящиеся предметы обладают весом и неоднородно деформированы по вертикали. Чтобы любой предмет поднять, требуется совершение работы, причем эта работа запасается данным предметом в виде потенциальной энергии. Другими словами, покоящаяся на поверхности Земли система отсчета удовлетворяет всем критериям, которые отличают неинерциальную систему отсчета.

С другой стороны, свободно падающее относительно Земли тело, как мы знаем, находится в состоянии невесомости. При таком падении предметы сами по себе приобретают ускоренное движение в невесомом состоянии, и их потенциальная энергия преобразуется в кинетическую, так что полная энергия остается постоянной (dЕ = 0). Следовательно, свободное падение есть инерциальное движение в неинерциальной системе отсчета (строка 4 таблицы). При интерпретации такого типа движения в отсутствие гравитации, естественно, считается, что никакие ускоряющие силы на тело не действуют. Мы считаем, что нет никаких логических оснований и описываемое явление трактовать иначе.

Однако при традиционном изложении классической механики утверждается, что ускоренное движение падающих на Землю тел, равно как и ускоренное движение планет вокруг Солнца, есть результат действия на них силы всемирного тяготения:

F_в.т. = G m₁ m₂/r ² , (6)

где G – постоянная всемирного тяготения; m₁ и m₂ – массы притягивающихся тел; r – расстояние между их центрами инерции. Невесомое состояние при таких движениях обычно объясняется некоей массовой силой, действующей на каждую частичку тела пропорционально ее массе. Но если сила всемирного тяготения есть реальность, то непонятно, почему она не совершает работу при перемещении тела. Мы видим единственную возможность выхода из этих противоречий: вместо “сил всемирного тяготения” нужно говорить о неоднородности пространства в направлении действия этих “сил”. Тогда падение тел и движения планет суть свободные движения без действия сил и невесомое состояние на таких телах очевидно.

Выражение (6) можно понимать как реальную силу не при свободном падении или движении планет, а при непосредственном механическом соприкосновении массивных тел (“корпускулярном взаимодействии”). Величина “силы всемирного тяготения” в этом случае будет численно равна весу Р каждого из взаимодействующих тел. Так, для Земли

F_в.т. = m(G M/r ^{2 )} = M(G m /r ² ) = m g_М = M g_m = Р, (7)

где M и m – массы Земли и некоторого тела; r – расстояние между их центрами масс; g_M и g_m – напряженности гравитационных полей Земли и некоторого тела соответственно. Суть гравитации, таким образом, заключается в возникновении вокруг планет собственных неоднородных пространств (“гравитационных полей”), от планет неотделимых.

Можно сказать, что Ньютон нашел кинематически эквивалентное решение, но не для инерциального движения планет в полях (неоднородных локальных пространствах) друг друга, а кинематически эквивалентное решение для взаимного движения пробных (без полей) тел с теми же массами, но в однородном пространстве в результате действия на них центральных (направленных к их общему центру масс) двигательных сил.

Используемые же в классической механике силы веса, тяжести, инерции, всемирного тяготения, центростремительная, центробежная, приливная, Кориолиса – все они имеют одну и ту же природу. Это есть помеха движению тела по инерциальной траектории, определяемой характером неоднородности пространства и начальным вектором скорости.

Тезис о неоднородности пространства как истинной сущности гравитации есть не что иное, как основная идея Эйнштейна, положенная им в основу общей теории относительности. Но мы утверждаем, что это положение совершенно необходимо уже в рамках классической механики – иначе невозможно избежать логических противоречий с ее основными положениями. Конечно, нельзя предъявлять претензии Ньютону, что он не усмотрел обсуждаемых здесь противоречий и не высказал идеи о неоднородности пространства. Эта идея никак не могла появиться до создания и осознания возможностей неевклидовых геометрий. Введение концепции неоднородности пространства вокруг гравитирующих тел является непреходящей заслугой Эйнштейна. И теперь, после Эйнштейна, мы можем и должны ею пользоваться при обсуждении основ “обычной”, ньютоновской механики.

Примечания

1. К сожалению, Коперник не сформулировал его в виде соответствующего методологического принципа. Этого нет до сих пор, хотя без использования такого приема описание явления не будет полным.

2. См.: Галилей Г. Избранные труды. – М.: Наука, 1964. – Т. 1.

3. См.: Голин Г.М., Филонович С.Р. Классики физической науки. – М.: Высш. шк., 1989. – С. 145–155.

4. Там же. – С. 112–116 .

5. См.: Пещевицкий Б.И. Динамические критерии инерциального и неинерциального состояний // Философия науки. – 2000. – № 1 (7). – С. 79–84. Он же. Динамические критерии инерциального и неинерциального состояний – 2 // Философия науки. – 2001. – № 1 (9). – С. 99–109.

6. Ранее употребляемые нами термины “динамическая” или “ускоряющая” сила не представляются удовлетворительными. Н.Н.Бухгольц (см.: Бухгольц Н.Н. Теоретическая механика.– М.: Наука, 1965. – Ч. 1.) использует термин “движущая”, который невольно ассоциируется с представлениями Аристотеля.

7. Идя навстречу пожеланиям читателей мы изменили обозначение видов энергии на более широкоупотребительные: Е – полная энергия, Т – кинетическая энергия и U – потенциальная энергия (см.: Физическая энциклопедия. – М.: БРЭ, 1988–1998. – Т. 1–5).

8. См.: Бухгольц Н.Н. Теоретическая механика.– Ч. 1. – С. 7–9, 171–173.

9. См.: Физическая энциклопедия. – М.: БРС, 1998. – Т. 1. – С. 398, 399.

10. См.: Сивухин Д.В. Общий курс физики: Механика. – 2-е изд. – М.: Наука, 1979. – С. 334-337; Савельев И.В. Курс общей физики. – Кн. 1: Механика. – 4‑е изд. – М.: Наука, 1998. – С. 137–139.

11. Если строго, то надо принимать во внимание разницу полной работы двигательной силы, за минусом работы на неоднородную деформацию тела № 3, или просто принять его в качестве “абсолютно жесткого” тела.

12. Что же касается третьего закона: “действие равно противодействию”,  то отметим, что его правильное отображение требует изображать силовое действие тела № 1 на тело № 2 (см.: Пещевицкий Б.И. Динамические критерии...; Он же. Динамические критерии... – 2) и равное по величине, но противоположное действие тела № 2 на тело № 1 на двух разных рисунках. В наших препринте (Пещевицкий Б.И. Гравитация как неоднородное пространство. – Новосибирск: НО ПАНИ, 1999) и статье (Пещевицкий Б.И. Невесомость и гравитация // Проблемы естествознания на рубеже столетий. – СПб.: Политехника, 1999) это изображено неправильно.

Институт неорганической химии

СО РАН, Новосибирск

Peshchevitskiy, B.I. Dynamic criteria of inertial and non-inertial states – 3

The paper points out definite distinctive features for two classes of motion: natural (inertial) motion and forced (non-inertial) one. It shows that under zero-gravity condition, local space is homogeneous and isotropic, all the points of such space are physically equal, while under gravity condition, local space is non-isotropic and non-homogeneous. In the latter case, it is asymmetric in a “specific” direction (in the direction of “motive” force influence). In this direction, the movement of the body requires spending activity; in the opposite direction, the body tends to move with acceleration by itself, without any force influence.