О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ДЛИНЕ И АКТУАЛЬНОМ НУЛЕ

Ю.Г. Решетняк

Я прочитал заметку профессора С.С.Кутателадзе «Актуальный нуль» и ответ на нее доктора философских наук О.В.Шарыпова, опубликованные в журнале «Философия науки». Какие события стоят за полемикой, содержащейся в этой заметке, ответом на нее и другими материалами, связанными с упомянутыми публикациями? Путешествуя по Интернету, один из ее участников (а именно, С.С.Кутателадзе) с удивлением для себя обнаружил, что в Сибирском отделении Российской академии наук совершено крупное математическое открытие, о котором ему до этого момента ничего не было известно. Это открытие, однако, было включено в перечень основных достижений Сибирского отделения РАН за 1998 год.

Исходя из понятия фундаментальной длины, известного из теоретической физики, некоторые сотрудники Института философии и права СО РАН ввели новое математическое понятие – понятие актуального нуля и построили арифметику, в которой роль обычного нуля исполняет актуальный нуль. Детальное ознакомление с теорией актуального нуля очень удивило С.С.Кутателадзе и, более того, его удивление перешло в возмущение. Дело в том, что изобретатели актуального нуля, как видно из их сочинений, к сожалению, формулируют свои результаты, с точки зрения математика, неправильно.

Приведем хотя бы фразу из отчета Сибирского отделения: «Математически фундаментальная длина представлена новым объектом – актуальным нулем множества...». Из этой формулировки можно заключить, что в любом множестве, встречающемся в математике, используя метод авторов открытия, можно указать новый элемент – его актуальный нуль. Всякий математический объект есть множество, в связи с чем данное «открытие» представляется имеющим глобальное значение.

Более тщательное рассмотрение трудов авторов по данной теме позволяет заключить, что речь идет не о всех, вообще, множествах, а о некотором конкретном множестве. Точное определение этого множества из трудов создателей актуального нуля усмотреть достаточно трудно. Другое обстоятельство, которое шокировало С.С.Кутателадзе, состоит в том, что математика, используемая авторами, в высшей степени тривиальна. О своих наблюдениях С.С.Кутателадзе посчитал необходимым поведать научной общественности и подготовил письмо в газету «Наука в Сибири» и затем, по рекомендации одного из членов редколлегии журнала «Философия науки», реплика была направлена в этот журнал. Эта заметка С.С.Кутателадзе была напечатана вместе с пространным ответом на нее О.В.Шарыпова. Заметку С.С.Кутателадзе редакция журнала «Философия науки» поместила с указанием, что в публикации сохранены все особенности пунктуации и стиля автора. (Других критикует, а посмотрите, как сам пишет!)

О.В.Шарыпов считает, что критика С.С.Кутателадзе никак не аргументирована. Уважаемый господин О.В.Шарыпов заблуждается! В своем письме С.С.Кутателадзе приводит две или три цитаты из критикуемых им сочинений. И это не какие-то выдернутые из контекста случайные фразы – среди них основополагающие для теории О.В.Шарыпова развернутые определения понятий фундаментальной длины и актуального нуля. Каждое из цитируемых основных определений представляет собой мешанину из математических, философских и физических терминов. Я не знаю, как обстоит дело с физическими и философскими терминами, но математические термины автор применяет, к сожалению, без четкого понимания их смысла. Это самый сильный аргумент против сочинений доктора философских наук О.В.Шарыпова! Если Вы претендуете на то, чтобы сказать новое слово в математике, – в данном случае дело обстоит именно так, – то выучите хотя бы математическую терминологию, относящуюся к делу, а, главное, научитесь правильно ее применять. Это условие необходимо для того, чтобы Вам и Вашим открытиям математики поверили.

Нуль в математике – это число, добавление которого к сумме сумму не меняет. Именно так действует «актуальный нуль» О.В.Шарыпова. Между тем О.В.Шарыпов, не понимая простейших математических истин, пишет в своей докторской диссертации, что «алгебра и геометрия на множестве с актуальным нулем не изучались математиками даже на аксиоматическом уровне». Каждому серьезному ученому ясно, что переименованием нуля в «актуальный нуль» никаких проблем решить не удастся ни в физике, ни в математике, ни даже в философии.

Поскольку письмо профессора С.С.Кутателадзе изначально предназначалось для газеты, то более подробный анализ сочинений О.В.Шарыпова вряд ли был возможен в пределах этого письма. Некоторые конкретные замечания в письме С.С.Кутателадзе, однако, приводятся. В геометрии пространства, построенной по рецептам О.В.Шарыпова, получается, что гипотенуза прямоугольного треугольника, составленного классическими векторами, может равняться катету. В письме О.В.Шарыпова отсутствует ответ на это замечание С.С.Кутателадзе.

Также игнорируется столь же бесспорное с математической точки зрения указание С.С.Кутателадзе на то, что никаких новых нулей и чисел О.В.Шарыпов не изобрел вовсе. Он всего лишь переименовывает положительные числа, сдвигая их по оси. Таким образом, рассматривается просто другая реализация алгебраической системы, составленной из обыкновенных положительных чисел. Никаких новых алгебраических свойств на этом пути получить в принципе невозможно. Несколько ниже я разъясню это обстоятельство более подробно.

Представление о наименьшей инвариантной протяженности, как пишет в своем ответе О.В.Шарыпов, должно учитываться в математическом формализме, применяемом физиками, который не должен использовать нефизические представления о «сколь угодно» малых величинах. Но на этих представлениях основываются дифференциальное и интегральное исчисления – рабочий аппарат физики еще со времен И.Ньютона, не утративший свое значение и в нашем XXI-м веке! То, что эти разделы математики физикам рано списывать в архив, легко убедиться, перелистывая любой из современных физических журналов. Поэтому данный тезис О.В.Шарыпова представляется крайне спорным.

В своем ответе О.В.Шарыпов отмечает, что С.С.Кутателадзе является соавтором монографии, в которой используются такие понятия как «актуальная бесконечность» и «актуальная бесконечно малая величина», и в отличие от многих, знаком не только с идеями Г.Кантора, но и с идеями П.Вопенки. Поэтому С.С.Кутателадзе должен быть знаком и с проблемой соответствия/несоответствия между финитистскими физическими представлениями и инфинитистскими теоретико-множественными концепциями. Попытки построить математику, не использующую понятие актуальной бесконечности, предпринимались задолго до П.Вопенки. Исследования, ведущиеся в этом направлении, безусловно являются важными и полезными. Они позволяют лучше понять некоторые принципиальные аспекты математики. Но пока математика без актуальной бесконечности или с ограниченным использованием бесконечности оказывается значительно более сложной и потому менее эффективной, чем математика, основанная на классической теории множеств. Вопрос о связи математики с реальным миром, по-видимому, значительно сложнее, чем это представлялось в середине прошлого века.

Стоит подчеркнуть, однако, что обсуждение современных взглядов на актуальные бесконечно большие и бесконечно малые числа, о которых, оказывается, совсем неплохо знают и математики, никакого отношения к «открытиям» О.В.Шарыпова не имеет. Об этих предметах немало сказано в сочинениях профессиональных математиков и, в частности, в книгах С.С.Кутателадзе и его сотрудников. Излагаемые там современные воззрения на числа, вскрытые математической логикой XX-го века, в работах О.В.Шарыпова не используются.

У читателя, естественно, может возникнуть вопрос: а что же все-таки сделано доктором философских наук О.В.Шарыповым и его коллегами и почему это так разозлило математиков? Отвечая на эти вопросы, я буду ссылаться на работы [3] и [4], которые я нашел в Интернете.

Что такое фундаментальная длина по О.В.Шарыпову? Повторим определение, которое цитирует С.С.Кутателадзе. Фундаментальная длина есть «недостижимый (асимптотический) нижний предел множества пространственных размеров вещественно-полевых объектов в восприятии вещественного наблюдателя (т. е. множества относительных длин)». Отметим сразу, что слова «асимптотический» и «недостижимый» в математике не являются синонимами. Понятие – нижний предел множества – математикам неизвестно. Говорят о нижнем пределе последовательности, функции и т.п. По-видимому, термин «нижний предел» здесь означает то, что математики называют нижней гранью или точной нижней границей множества. (Если следовать примеру редакции «Философия науки», я не должен бы это писать, и мне следовало бы предоставить О.В.Шарыпову рыться в математических книгах и искать подходящий термин самому.)

Теперь относительно актуального нуля. В работе [3] сказано следующее: «...мы приходим к определению нового понятия, являющегося адекватной абстракцией фундаментальной длины – актуальному нулю. По определению это инвариантный конечный элемент множества, в асимптотическом смысле предельный для любых убывающих последовательностей, состоящих из элементов этого множества». Непонятно, о каком множестве идет речь. Если имеется в виду множество, элементы которого есть действительные числа, то убывающих последовательностей, образованных его элементами, может быть очень много, и каждая из них имеет свой предел. Мы получаем, что множество имеет столько актуальных нулей, сколько существует убывающих последовательностей, составленных из его элементов! Фактически в данном случае из «определения» О.В.Шарыпова следует, что каждый элемент множества является его актуальным нулем. Таким образом, в работе [3] корректное определение актуального нуля отсутствует. Реально же О.В.Шарыпов, как уже отмечено выше, осуществляет простейшее изоморфное преобразование системы положительных чисел с помощью сдвига правой полуоси на величину l_pl вправо и переопределения соответствующим образом операций сложения и умножения. Современная математика, разумеется, не считает новыми изоморфные образы известных алгебраических систем, поскольку достаточно изучить свойства только одной из изоморфных систем.

Обратимся к работе [4]. В ней строится некоторая «новая» арифметика, которая, как считают ее авторы, должна лежать в основе современной теории пространства-времени. Прежде всего о понятии фундаментальной длины. Как в [3], так и в [4] сказано, что она конечна и инвариантна. В чем состоит свойство инвариантности фундаментальной длины? В [3] об этом говорится несколько уклончиво и складывается впечатление, что точное определение откладывается до внесения необходимых уточнений в теорию относительности. В [4] имеется в виду лоренц-инвариантность. Но всякая величина, имеющая физическую размерность длины, может быть инвариантной относительно лоренцевых преобразований в том и только в том случае, если эта величина равна нулю! Авторы требуют, однако, чтобы фундаментальная длина была отлична от нуля. Мы приходим, таким образом, к противоречию и, следовательно, в сочинениях, которые обсуждаются здесь, нет удовлетворительного определения понятия фундаментальной длины. Фактически же в обсуждаемых сочинениях используется обычная планковская длина, т.е. некоторая постоянная, имеющая размерность длины.

В работе [4] строится некоторая арифметика, которая, как утверждают авторы, является неархимедовой и свободна от парадоксов, выражаемых известными апориями Зенона. Конструкция, посредством которой получена эта новая арифметика, в математическом отношении абсолютно тривиальна и ожидать от нее каких-либо качественных прорывов в математике ли, в физике ли – нет никаких оснований.

Опишем эту арифметику, что не потребует много места. Рассматривается множество L чисел l > l_pl, где l_pl > 0 и есть фундаментальная длина: . Иначе говоря, L есть интервал множества действительных чисел. Пусть сть отображение L на множество всех положительных чисел , определенное условием (l) =ll_pl, ^1  – обратное отображение, то есть ^1(r)=r+l_pl для всякого r > 0. Тогда все операции, определенные в , автоматически переносятся в множество L. А именно, – полагаем для произвольных l₁, l₂ L, l₁ l₂ = ^1[(l₁)+(l₂)] и, аналогично, l₁ l₂ = ^1[(l₁)×(l₂)]. Никакой новой арифметики при таком определении операций в множестве L не возникает. Алгебраическая система (L, , ), то есть множество L, наделенное операциями и , изоморфно множеству положительных чисел . Всякое предложение, верное для множества , автоматически оказывается верным и для множества L с операциями, определенными в нем, как указано выше. В частности, вопреки утверждению авторов, для множества L принцип Архимеда в этом множестве выполняется также, как и в . Все трудности, связанные с апориями Зенона, остаются в силе и для построенной авторами «новой» арифметики. Заметим, кстати, что, вопреки утверждению авторов, алгебраическая система (L, , ) не является полем, так как оно не образует группы относительно операции сложения. (В этой системе нет отрицательных чисел.) Почему арифметика, построенная в L указанным способом, является дискретно-непрерывной и в чем состоит ее дискретность? По своим внутренним свойствам она ничем не отличается от множества !

Множество L=(l_pl, ) может отображаться на множество бесконечным числом способов. Выбирая в качестве отображения, отличные от указанного выше, мы сможем определить на L бесконечное множество арифметик, которые, однако, все изоморфны арифметике, заданной на множестве .

Авторы часто ссылаются на работу В.Л.Рвачева [5]. В.Л.Рвачев – довольно известный специалист в области вычислительной математики, академик НАН Украины. Формально все проделанные в статье [5] вычисления – правильны. Однако, данная автором интерпретация полученных им результатов ошибочна. Никакой неархимедовой арифметики в ней не построено, так что название статьи вводит читателя в заблуждение. Именно поэтому статья В.Л.Рвачева рассматривается специалистами как досадное недоразумение, вызванное особенностями принятия работ к публикации в «Докладах».

Содержание этой статьи можно пересказать в очень немногих словах. Она также основана на иллюзии, состоящей в попытке получить новые алгебраические свойства алгебраической системы, отсутствующие в изоморфной ей системе. Всякий интервал I=(a, b), где a < b, то есть совокупность всех вещественных чисел x таких, что a < x < b, может быть взаимнооднозначно отображен на множество всех действительных чисел . Более того, это можно сделать бесконечным числом способов.

Пусть :(a, b) есть взаимнооднозначное отображение множества I на , ^1: (a, b) – обратное отображение, то есть такое, что для всякого x I выполняется равенство x= ^1[ (x)]. Для произвольных x, y (a, b) определим операции и , полагая x y= ^1[(x)+(y)] и, аналогично, x y=^1[x)×(y)]. Введем в I еще и отношение порядка посредством соглашения: x y в том и только в том случае, если (x) < (y). Мы получим в результате некоторое упорядоченное поле

I_a=((a, b), , , ). Это поле изоморфно полю действительных чисел . Любое высказывание, верное относительно поля , автоматически оказывается верным и для поля I . Справедливость этого утверждения следует из общих принципов математической логики. Формальное доказательство занимает несколько строк. Конструкция, как видим, в точности та же, что и в работе [4].

В работе [5] рассматривается случай, когда I есть интервал (c, c). В качестве функции , отображающей этот промежуток на множество действительных чисел , можно взять, например, любую из функций . Каждая из этих функций непрерывна и является строго возрастающей на промежутке (c, c) и при x c стремится к пределу, равному  , а при x c имеет предел, равный . Отсюда следует, что каждая из них отображает промежуток (c, c) на множество . В.Л.Рвачев использует последнюю функцию. В этом случае операция сложения выражается через обычные арифметические операции следующим образом:

. Эта формула совпадает с формулой сложения скоростей в специальной теории относительности. Это случайное совпадение привело уважаемого автора к мысли, что придуманная им арифметика имеет определенную ценность. Может быть, это и так, но теория относительности здесь абсолютно не причем.

Упорядоченное числовое поле F называется архимедовым, если выполнено следующее условие. Если число a > 0, a F, то для любого x F найдется натуральное число n такое, что x < na. Для того, чтобы доказать неархимедовость арифметики, построенной В.Л.Рвачевым, согласно этому определению – надо указать x (c, c) и a, 0 < a < c, такие, что неравенство x < na не выполняется ни при каком n. Здесь na есть величина, полученная из a n-кратным применением операции , na=a a a ...  a (n слагаемых.) Такие x и a > 0 в промежутке (c, c) найти невозможно – по той причине, что их нет в множестве . В.Л.Рвачев считает, что поле ((c, c), , , ) – неархимедово, так как na < c, как бы ни было выбрано a > 0. Дело, однако, в том, что число c не является элементом промежутка (c, c)!

Мне могут возразить, что работы О.В.Шарыпова относятся к философии, основные понятия которой, в силу своей общности, имеют расплывчатые очертания и не допускают таких точных определений, к каким привыкли математики, что неправильно переносить требования, обычные для математических исследований, на работы философского содержания. На это я могу ответить только, что, – как учили меня когда-то, – истина всегда конкретна. В данном случае автор претендует на некоторое математическое открытие. Эпоха дилетантов давно прошла и в наш XXI-й век – чтобы изобрести что-то дельное, необходимо свободно владеть современным инструментарием науки хотя бы в той узкой области, которая Вас интересует.

С помощью рассуждений в стиле «актуальный нуль представляет собой диалектическое единство бытия и небытия» никаких открытий в области математики и физики сделать не удалось и не удастся. В этом суть справедливой критики, высказанной С.C.Кутателадзе в адрес философов, пытающихся решать псевдонаучными методами проблемы математики и физики.

На основании сказанного, я пришел к следующему мнению.

Первое. Как бы ни была неприятна доктору философских наук О.В.Шарыпову критика его статей «Фундаментальная длина: явление и сущность» и «О возможности объединения свойств инвариантного покоя и относительного движения на основе новой модели пространства с минимальной длиной», по существу профессор С.С.Кутателадзе прав. При этом ни о каком «заказе» этой критики не может быть и речи.

Второе. Мне представляется, что доктору философских наук О.В.Шарыпову необходимо переосмыслить свои занятия математикой и полностью согласиться со справедливой критикой по существу, высказанной специалистом-математиком, доктором физико-математических наук, профессором С.С.Кутателадзе.

Третье. Думаю, что было бы правильным, если бы Институт философии и права СО РАН дезавуировал информацию об «открытии» актуального нуля, включенную в число важнейших достижений Сибирского отделения РАН за 1998 год, приняв этот случай, как недоразумение.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Кутателадзе С.С. Актуальный нуль // Философия науки. – 2004. - № 2 (21). – С. 121–123.

[2] Шарыпов О.В. Фундаментальная длина – физический референт актуального нуля // Философия науки. – 2004. - № 2 (21). – С. 124–150.

[3] Шарыпов О.В. Фундаментальная длина: явление и сущность. – Интернет.

[4] Корухов В.В., Шарыпов О.В. О возможности объединения свойств инвариантного покоя и и относительного движения на основе новой модели пространства с минимальной длиной. – Интернет.

[5] Рвачев В.Л. Неархимедова арифметика и другие конструктивные средства математики, основанные на идеях специальной теории относительности // Доклады АН СССР. – 1991. - Т. 51, 4. – С. 884 – 889.