У 1997 г.

ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ: НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА ПРОБЛЕМУ

С.К.Черепанов

Во–первых, располагая вполне приемлемым определением содержания понятия “обоснование”, ни логика, ни философия не испытывали и, по–видимому, не испытывают потребности в какой–то спецификации этого понятия, позволяющей уточнить содержание и структуру процедур, традиционно включаемых в его объем. В рамках философской традиции содержание категории “обоснование” (“обоснованное”) принято сопрягать с содержанием понятия “основа”, трактуемого как то, что необходимо присуще обосновываемым сущностям, без чего нельзя говорить о качестве или природе последних [1, 140 – 144]. Философские дискуссии ведутся главным образом вокруг последнего термина (“основа”) и имеют явный метафизический оттенок.

В логико–методологической литературе предпочитают рассматривать структуру обосновательного акта, определяя обоснование как подтверждение определенных свойств или отношений, присущих обосновываемому, будь то отдельное утверждение, гипотеза, теория или даже наука в целом [2, 158 – 160]. При этом подтверждение трактуется в широком смысле – как приведение весомых доводов (свидетельств, фактов, аргументов), укрепляющих нашу веру в обосновываемое. Укрепление веры, в свою очередь, базируется на обретении новой информации о причинах проявления упомянутых свойств и отношений, их границах, способах существования и т. д.

Применительно к математике отличительными признаками всегда считались строгость, достоверность и непреложность получаемых результатов. Однажды доказанный результат мог быть обобщен, усовершенствован, даже частично пересмотрен, но никогда не отбрасывался как ложный [4, 49]. Собственно обосновательной деятельностью в этом плане считалась любая деятельность, направленная на объяснение причин или оснований упомянутых свойств математического познания. Среди различных объяснений такого рода в качестве главного объяснительного фактора всегда фигурировала ссылка на дедуктивный характер математических истин. К середине XIX в. упомянутый фактор оказался не просто главным, но единственным [5, 132, 133].

Кризис оснований, вызванный открытием парадоксов теории множеств, заставил математиков усомниться в справедливости традиционного гносеологического образа математической науки, породил тревогу и обеспокоенность по поводу надежности применяемых средств и методов. Оказалось, к примеру, что рассуждения, приводящие к парадоксу Рассела, используются в различных областях математики, не вызывая там особых хлопот [6, 79, 80]. И хотя обнаруженные антиномии довольно быстро удалось блокировать, сомнения, связанные с перспективой появления новых парадоксов, не были развеяны. К тому же теоретико–множественные антиномии были удивительно близки к другим, не имеющим прямого отношения к математике давно известным логическим парадоксам, решения которых не существовало. Все это лишало математику ореола исключительности и эталонности в науке.

Парадоксальность сложившейся ситуации заключалась в том, что отказ от устоявшихся представлений противоречил здравому смыслу. Как заметил Хао Ван, открытие антиномий не привело к крушению мостов, – все математические методы продолжали демонстрировать свою эффективность [7, 333, 334]. Однако и сомнения, посеянные парадоксами, не были пустым звуком. Они требовали какой–то реакции со стороны математического сообщества, и такая реакция последовала. Было выдвинуто четыре различных программы, нацеленных на то, чтобы устранить все сомнения, продемонстрировав наличие крепкого и надежного фундамента математики. Таково содержание проблемы, заключенное в словосочетании “обоснование математики”.

Между тем нелепость самой идеи редукции сомнительного к достоверному достаточно очевидна. Редукционистский замысел протаскивал через “черный ход” представление о парадоксах и связанных с ними сомнениях как о чем–то искусственном, как о каких–то издержках мышления, т.е. ту точку зрения, которая была “официально” признана несостоятельной. В итоге оказалось, что “конструктивное” истолкование второго принципиального для классических программ момента вступало в противоречие с первым пунктом их совместной позиции. Это свидетельствовало о том, что исследователи в глубине души не воспринимали возможность альтернативных воззрений на характер математической деятельности как объективную данность.

Теоретико–множественное направление в обосновании математики, пожалуй, трудно упрекнуть в прямом редукционизме, ибо задача данного направления состояла в реабилитации сомнительной теоретико–множественной математики за счет ее аксиоматизации. Однако аксиоматизированный “заслон” на пути парадоксов лишь выталкивал все наиболее острые проблемы за рамки теории множеств в надежде на их решение на доаксиоматическом или даже доматематическом уровне. Практически же ни одна из таких проблем начиная с трактовки пустого множества, определенного предиката, множества–степени, не говоря уже о сколемовском релятивизме мощностей или аксиоме выбора, не получила никакого общепризнанного решения. Различные варианты аксиоматик допускали взаимоисключающие решения многих проблем. Например, аксиома существования множества–степени, по авторитетному замечанию Н.В.Белякина, “навязывает неразрешимые проблемы сравнения бесконечных количеств и одновременно препятствует разумному осмыслению ситуации, порождая впечатление о какой–то независимой от нас и непостижимой реальности. Мы кодируем непрерывную протяженность как множество всех подмножеств натурального ряда, а затем обнаруживаем, что мощность этого множества мы можем назначить по своему произволу, не опасаясь противоречия” [8, 100, 101].

Направление, называемое логицизмом, привязывало редукцию сомнительной теоретико–множественной математики к своеобразной теоретико–типовой логике, пригодной, по мнению Рассела, для экспликации без противоречий основных математических конструкций. Даже если не опасаться болезненного для логицизма вопроса, в какой мере логизированную форму теоретико–множественной математики, включающую в себя аксиому бесконечности, можно назвать логикой, странной кажется сама оценка логики как более достоверной, чем математика, области знаний. Для этого логике, по меньшей мере, надо было устранить собственно логические парадоксы, связанные с ее основаниями. Прежде всего – парадокс “лжеца”, затрагивающий основания логики высказываний, и гетерологический парадокс, связанный с основаниями логики предикатов [9, 477]. Без решения этой проблемы считать логику мерилом достоверности можно лишь следуя инерции докризисного этапа развития основательной деятельности.

Упорное стремление логицистов именовать логическими краеугольные принципы математики, не имеющие к логике никакого отношения, рождало негативное отношение к науке, способной облачаться в любые одежды. “Податливость” логики сделала ее главной мишенью интуиционистской критики. Интуиционисты прямо объявили логику виновницей кризиса, преодоление которого мыслилось через отказ от ряда положений классической логики и реконструкцию математики на основе интуиции конструктивного процесса. Однако попытки построить интуитивно ясную математику, в которой не было бы места сомнениям, закончились вполне предсказуемым результатом – признанием того, что “само понятие интуитивной ясности не является интуитивно ясным” [10, 225].

Включившийся в полемику Гильберт не примкнул ни к одной из сторон. Он хорошо сознавал, что придание математике образа логизированной дедуктивной науки требует использования рискованных абстракций и идеализаций в основаниях дедукции, а это создает почву для коллизий и парадоксов. Однако отказываться от всего этого было бы, по мнению Гильберта, просто предательством по отношению к математике. Гильберт открыто боролся с интуиционистами, пытавшимися, по его словам, “спасти математику, выбрасывая за борт все, что причиняет беспокойство” [11, 202]. Он выдвинул программу, призванную продемонстрировать “безвредность” идеализаций, полагая, что все, что получается в теории, использующей сильные идеализации, может быть получено в более слабой теории, не использующей этих идеализаций. Таким образом, первая оказывается лишь консервативным расширением второй. Опираясь на эти идеи, Гильберт предположил, что и анализ, и теория множеств являются консервативным расширением обыкновенной арифметики. Поэтому если будет доказана непротиворечивость арифметики, то можно считать, что вся реальная математика надежно защищена от парадоксов. Образно говоря, если даже математика и лишилась “невинности” в связи с обнаружением парадоксов, она от этого ничего не потеряла.

Бесспорно, замысел Гильберта был тщательно продуман. Требуя проведения доказательств непротиворечивости теорий, он разработал соответствующий механизм реализации этого требования – метаматематику. В то же время, требуя определенного качества самих доказательств непротиворечивости, Гильберт смог нейтрализовать нападки интуиционистов. Тем не менее доказательства непротиворечивости не могли рассеять связанных с парадоксами сомнений. План Гильберта в этом смысле мог претендовать лишь на дискредитацию интуиционизма, но не на решение проблемы обоснования математики. Разумеется, требование непротиворечивости теорий более чем желательно. Однако сама по себе представимость некоторого теоретического фрагмента в виде непротиворечивой системы не исключает парадоксов. Гильберт признавал, что любые основания, оперирующие упрощающими идеализациями действительного положения дел и преступающие границы наглядно очевидного или данных опыта, потенциально опасны. “Противоречие может наступить как раз в результате того, что мы считаем вполне определенным какое–нибудь отношение, которое имеет место только в ограниченном смысле” [12, 25]. Иначе говоря, в исходные положения теории могут вкрасться чересчур категоричные (сильные) утверждения, выполнимые в некоторой индивидной области, но допускающие возможность контрпримера вне ее. После этого достаточно лишь слегка “завуалировать” обнаруженный ход мыслей, чтобы парадокс стал реальностью.

Наряду с этим противоречие может быть отражением несовместимости между собой различных идеализаций, каждая из которых в отдельности могла бы быть выполнимой. План Гильберта изначально был ориентирован именно в такой плоскости. Непротиворечивость трактовалась как проявление согласованности системы “основных положений” (аксиом) теории относительно фиксированного набора правил вывода. Для этого достаточно было показать, что в результате применения данных правил нельзя получить двух взаимоотрицающих следствий. В этом случае содержательный поиск контрпримера блокировался требованием чисто формального рассмотрения всех элементов теоретической системы. Последнее, в свою очередь, ставило проблему полноты формализма, которая, как известно, была решена Геделем отрицательно.

Критические замечания в адрес гильбертовской программы, внушавшей поначалу здоровый оптимизм, не замедлили появиться. Витгенштейн прямо заявил, что доказательства непротиворечивости являются бессмысленными, поскольку не дают никакой гарантии против противоречий, возникновение которых связано с применением теоретических средств, а вовсе не со структурой или строением теории [13, 126]. В силу того, что избежать нежелательного употребления теоретических средств, по мнению Витгенштейна, в принципе невозможно, любые основания математики будут ненадежными.

Схема 1

Схема 3

В целом же можно констатировать, что попытки реализации каждой из программ укрепили подозрения, что никаких не подверженных аргументам скептицизма оснований математики существовать не может. Ни аподиктическая интуиция натурального числа, ни строгость логического механизма трансляции недостаточны, чтобы рассматривать традиционный образ математики как нечто большее, чем одна из возможностей. В то же время был достигнут реальный прогресс в осмыслении ритуала математического поведения, существенно повысился уровень требований к строгости доказательств, уточнены соотношения и границы достоверности различных методов и т.д. Вместе с тем нельзя не отметить, что уровень строгости и непреложности, который казался идеальным с точки зрения, скажем, физики, вовсе не выглядел таковым с точки зрения логики или самой математики. Не случайно стандарты убедительности были предметом острой дискуссии среди математиков и упирались, как заметил Н.В.Белякин, в “доброкачественность наших представлений о произвольном конечном” [8, 81].

В действительности кризис оснований состоял в том, что все, что считалось достоверным, объективно могло стать предметом сомнений. Однако сомнения в достоверном не отменяют существования достоверного. Поэтому бороться с ними, пытаясь как–то их устранить, отбросить, редуцировать и т.п., бессмысленно. Вопрос должен ставиться в иной плоскости – как в этих условиях возможно само существование достоверного. Такая постановка проблемы требует теоретического оправдания самой возможности математики как системы достоверного знания, основанного на исходной аподиктической интуиции целого числа. Между тем в постгеделевской философии математики мы не найдем даже намека на рассмотрение подобных вопросов. Неустранимость сомнений по–прежнему трактуется как аргумент против выдвижения самостоятельных обосновательных программ. При этом мотив невозможности, как правило, дополняется тезисом о ненужности каких–то программ, поскольку “спасать” математику от никому не известных парадоксов противоестественно [13, 101]. Противники антифундаменталистских установок стараются усовершенствовать обосновательный потенциал классических программ, предпочитая не заниматься при этом вопросами гносеологической адекватности лежащих в их основе замыслов [14, 209 – 225].

Оценка современного состояния проблемы обоснования математики резюмирована в недавней монографии Е.Беляева и В.Перминова [5, 158]: “Общей концепции, которая бы позволила ответить на все философские вопросы, возникающие в связи с проблемой обоснования математики в XX веке, пока не существует” [5, 158, 159]. Вместе с тем авторы выделяют ряд положений, которые, по их мнению, представляются бесспорными. Перечислим их:

“1. Ценность математических теорий состоит в их способности выполнять трансформирующую функцию по отношению к содержательному знанию, функцию вывода. Вследствие этого основное, субстанциональное требование к математике и цель ее обоснования есть ее непротиворечивость. Обоснование математики как особая деятельность состоит в устранении существующих противоречий и в выработке средств анализа, предупреждающих, по возможности, появление таких противоречий в будущем.

4. Обоснование математики не временный и не эпизодический, но постоянный процесс, необходимая сторона развития математического знания в целом. Математика столь же далека от своей окончательной обоснованности, как и всякое другое знание...” [5, 158, 159].

То, что мы именуем “сомнительным”, вовсе не локализуется в области трансфинитных абстракций и связанных с ними теорий. Любое сомнительное тысячами нитей связано с достоверным, неотделимо от него [15, 54]. При таком подходе сомнительное выходит за рамки оснований математики, за рамки математики в целом. Исходным пунктом обосновательной деятельности становится то, что послужило причиной кризиса оснований математики, – проблема парадоксов. Обоснование математики в этом случае есть непосредственное разрешение парадоксов. Разрешение подразумевает выявление рационального зерна в самой структуре парадоксальной ситуации, могущего при правильном, бережном отношении дать полноценный “урожай” достоверных образов. Очевидно, что открытие возможности рациональной трактовки парадоксальной ситуации неотделимо от переоценки логического инструментария, применение которого не позволяло прежде развить непротиворечивую трактовку фигурировавшей в парадоксе смысловой неопределенности. В этом плане разрешение парадокса предполагает изменение самой логики.

Однако не всякое изменение логики пригодно для обоснования математики. Интерес представляет лишь такая модификация традиционных форм выражения логической определенности (“шкалы” истинностного оценивания), которая в перспективе могла бы привести к возникновению форм количественного оценивания информации, т.е. к появлению системы количественных образов, олицетворением которых выступает натуральный ряд чисел N. Такая установка предполагает жесткие требования к самим парадоксам, заставляя рассматривать только те из них, которые относятся к самой логике.

Демонстрация осуществимости построения N как логически детерминированных сущностей является главным критерием успеха предлагаемой концепции обоснования математики. Обоснование призвано показать, что натуральные числа не заложены в “природе вещей”, что интуитивная способность оперировать количественными образами реальности не ниспослана Господом Богом. Можно сколь угодно убедительно говорить, что мы владеем этой интуицией, умеем развивать ее непротиворечивым образом, выстраивая спектр различных математических теорий. Все это – попытка подменить теоретическую проблему констатацией фактов, достижимость успеха выдать за ее основу. В действительности же наша способность неограниченного развертывания интуиции количественной определенности в образе N является главной загадкой, квинтэссенцией математики как науки о бесконечном. Поэтому обоснование математики неотделимо от разрешения данной загадки. Разгадать ее – значит построить модель регулярного процесса, который не может зациклиться и все время приводит к возникновению нового и нового. Сам этот процесс является лишь определенной конкретизацией, специфическим проявлением общего стремления мышления к непротиворечивости и определенности, реализуемого с той или иной степенью полноты в любой области научного знания. Разрешение парадоксов позволяет вскрыть факторы, детерминирующие процесс “раскручивания” этой тенденции. Принципиальная незавершенность N оказывается отражением ее неисчерпаемости.

Схема 4

1. Билялов А.К. Об определении категорий “основа” и “обоснование” // Филос. науки. 1976. № 5.

2. Никитин Е.П. Открытие и обоснование. М., 1988.

3. Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Проблемы современной математики. М., 1971. С. 22 – 33.

4. Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М., 1986.

5. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М., 1981.

6. Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел // Математическая теория логического вывода. М., 1967.

7. Хао Ван. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применения. М., 1965.

8. Белякин Н.В. Логика и реальность // Методологические проблемы науки: Вычислительные системы. Новосибирск, 1991. Вып. 138.

9. Вригт Г., фон Гетерологический парадокс // Вригт Г., фон. Логико–философские исследования. М., 1986.

10. Гейтинг А. Тридцать лет спустя // Математическая логика и ее применения. М., 1965. С. 225.

11. Рид К. Гильберт. М., 1977.

12. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1982.

13. Сокулер З.А. Проблема обоснования знания: Гносеологические концепции Л. Витгенштейна и К. Поппера. М., 1988.

14. Гончаров С.С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки. Новосибирск, 1994.

15. Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. М., 1981.

16. Черепанов С.К. Основания и парадоксы: Новый подход к решению проблем логического обоснования математики. Красноярск, 1995.