К ОСНОВАНИЯМ ЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИСТИНЫ

А.В.Бессонов

В последние десятилетия Я.Хинтиккой предпринята попытка широкой ревизии классических ограничительных результатов современной логики. В этом направлении им предложено опровержение знаменитого вывода А.Тарского о невозможности непротиворечивого и полного определения истины, т.е. определения истинности, охватывающего все предложения семантически замкнутого языка. Напомним, что семантически замкнутым является язык, в котором выразима его собственная семантика, включая понятие истинности предложений данного языка.

Я.Хинтикка формулирует следующие требования к идеальному определению истинности, выполнение которых он называет “семантическим раем”¹.

(i) Определение истинности должно быть применимым к языку L, являющемуся хорошим приближением языка реальных суждений, аргументаций и доказательств, или к некоторой более строгой, упорядоченной форме языка. L должен обладать достаточными выразительными возможностями, чтобы в нем по крайней мере можно было сформулировать всю математику.

(ii) Определение истинности должно быть полным в том смысле, что оно должно охватывать синтаксические описания всех правильно построенных предложений S языка L, и при этом давать положительный ответ всегда и только тогда, когда S истинно. (Другими словами, оно должно определять “истинность целиком”.)

(iii) Определение истинности должно быть сформулировано в самом L, а не в некотором метаязыке с более широкими выразительными возможностями, что может порождать дополнительные семантические проблемы.

(iv) Определение должно прямо говорить, что значит для предложения быть истинным, а не просто определять некое абстрактное соответствие между предложением и “внешним” фактом. В идеальном случае такое определение должно формализовать способ, которым мы на самом деле устанавливаем истинность или ложность предложений. (Говоря метафорически, определение должно схватывать “истинность и только”.) Другими словами, условия истинности, вытекающие из определения, должны быть нетривиальными или информативными.

(v) Определение должно быть независимым от конкретной модели M (конкретного сценария или “возможного мира”), на которой интерпретируются предложения языка L. Оно должно ставить в соответствие каждому предложению S другое предложение, выражающее условия истинности S способом, не зависящим от M.

Я.Хинтикка особо подчеркивает значимость требований (iii) и (iv). Действительно, выполнение условия (iii) прямо опровергало бы классическое положение, обоснованное А.Тарским, согласно которому определение истинности для формального языка может быть сформулировано только в более богатом языке и, следовательно, никогда не может быть построено средствами самого исходного языка. Отсюда следовала бы переоценка негативного отношения к естественному языку, в котором в силу его семантической замкнутости будто бы невозможно сформулировать свободное от парадоксов определение истины. Это, в свою очередь, служило бы серьезным контраргументом тезису о принципиальной невыразимости семантики языка реальных рассуждений, играющему существенную роль в философских построениях таких философов, как Г.Фреге, Л.Витгенштейн, В.Куайн, А.Черч, М.Хайдеггер.

Что касается условия (iv), то его важность для Я.Хинтикки связана с тем, что оно препятствует антиреалистическому истолкованию результатов формальной семантики, – “Ибо зачем вымучивать условия истинности предложения через его согласованность с другими предложениями, если средствами своего собственного языка можно дать информативную формулировку условий, при которых это предложение истинно?”².

Условие (iv) является характерным для философии Я.Хинтикки в целом. Во многих своих известных работах он подчеркивает тесную связь логики и эпистемологии. Однако насколько необходимо привлечение теоретико-познавательных доктрин в решении проблемы истины как именно логической проблемы? Тезис о невозможности дать полное определение истины в семантически замкнутом языке – вовсе не единственный, да и не самый главный аргумент сторонников когерентной концепции истины. В то же время логика, т.е. законы правильного вывода, а значит, и связанные с ней проблемы у реалистов и антиреалистов могут быть общими, т.е. независимыми от того, какой теоретико-познавательный смысл они вкладывают в понятие истины. Так должно ли определение истинности в логике быть информативным настолько, чтобы разделять реалистов и антиреалистов? Должно ли вообще понятие истины в логике быть нетривиально или информативно определено?

Чтобы ответить на эти вопросы, следует обратиться к истории возникновения проблемы истины в логике. Вряд ли кто оспорит, что первоисточником данной проблематики является знаменитый парадокс лжеца: и А.Тарский³, и С.Крипке⁴ начинают свои работы с рассмотрения этого парадокса, Я.Хинтикка⁵ также уделяет ему особое внимание. Этот парадокс, имеющий древнюю историю, формулируется в нескольких различных версиях, одна из которых принадлежит представителю мегарской школы Эвбулиду (IV в. до н. э.). Эвбулид рассматривал ситуацию, в которой некто говорит: “То, что я говорю сейчас, ложно”. Легко понять, что данное предложение истинно, если то, что говорит этот человек, ложно, т.е. если само это предложение ложно. Но оно может быть ложным только тогда, когда то, что он говорит, не является ложным, т.е. если анализируемое предложение истинно. Итак, предложение, сформулированное Эвбулидом, истинно тогда и только тогда, когда оно ложно.

Как видно, формулировка парадокса никак не указывает на то, какое – реалистическое или антиреалистическое – истолкование придается понятию истинности. Парадокс вообще не связан с какой-либо определенной теоретико-познавательной концепцией истины. В самом деле, рассмотрим общую схему определения истинности через соответствие:

высказывание P истинно, если и только если P соответствует Q,

где на место Q могут подставляться фразы “внешнему факту”, “требованию согласованности с другими предложениями”, “критерию полезности для говорящего”, “принятой конвенции” и т.п. Понятно, что эта схема охватывает все популярные теоретико-познавательные концепции истины: классическую (“истина” – соответствие факту), когерентную (“истина” – непротиворечивость), конвенционалистскую (“истина” – соглашение), прагматическую (“истина” – полезность) и т.д.

Для нас представляет интерес то, что парадокс лжеца можно воспроизвести, имея только общее схематическое определение. Предположим, что, как и в классической формулировке парадокса лжеца, (а) выполняется закон исключенного третьего и (б) значение истинности высказывания “P истинно” совпадает со значением истинности самого P. Пусть высказывание А выражает ложность А по схематическому определению, другими словами, в А утверждается, что А не соответствует Q. Попытаемся определить значение истинности А в смысле схематического определения. Предположим, что А истинно, т.е. что А соответствует Q. В таком случае по смыслу А получаем: предложение, которое не соответствует Q, соответствует Q. Пусть теперь А ложно, т.е. А не соответствует Q. Тогда по условию (б) истинно, что А ложно, т.е. соответствует Q, что А не соответствует Q. Но по предположению смысл А состоит в точности в том, что А ложно, т.е. что А не соответствует Q. Поэтому выражение, стоящее после запятой, можно заменить на А, получив тем самым: А соответствует Q, т.е. А истинно.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что формулировка парадокса лжеца никак не разделяет реалистов и антиреалистов: парадокс может быть сформулирован в рамках любой теоретико-познавательной концепции истины при выполнении условий (а) и (б). При этом разрешение парадокса посредством “реалистического” определения истины очевидно не будет значимым для антиреалистов. Следовательно, такое решение не будет общепринятым, т.е. оно вообще не будет решением парадокса как логической проблемы.

Последний вывод относится не только к теоретико-познавательной, но и к любой другой информативности условий истинности: требование какой-либо информативности условий истинности неизбежно сужает общность решения проблемы. Дело в том, что парадокс может быть воспроизведен в понятиях, более общих даже по сравнению с понятием истины, задаваемым совершенно неинформативным схематическим определением.

Возьмем, например, понятие приемлемости. Ясно, что это понятие шире понятия истины: все истинные предложения приемлемы, но не все приемлемые – истинны, поскольку возможны, к примеру, впоследствии опровергаемые гипотезы. Рассмотрим предложение А: “А неприемлемо” (НпА). Условимся, что неприемлемость неприемлемости эквивалентна приемлемости (исключенное третье): (а) НпНпp « Пр, а также то, что приемлемость или неприемлемость предложения “Приемлемо p” эквивалентны таковой самого предложения р, т.е. (б) ППp « Пр, НпПp « Нпр. Попытаемся оценить предложение А. Пусть А приемлемо, т.е. ПА. Это по условию (а) эквивалентно НпНпА, а последнее (поскольку А и означает, что А неприемлемо, т.е. НпА) эквивалентно НпНпНпА и [опять используем (а)] НпПА. По условию (б) НпПА эквивалентно НпА, т.е., предположив приемлемость А, мы приходим к неприемлемости этого предложения. И наоборот, прочитав представленную цепочку эквивалентностей в обратном порядке, из предположения о неприемлемости А мы придем к выводу о его приемлемости. Таким образом, мы получили парадокс (назовем его «парадоксом скептика»), по своей логической структуре совершенно аналогичный парадоксу лжеца, но относящийся не к понятию истинности (информативному или нет), а к более общему понятию приемлемости.

Еще более удивительным является то, что аналогичный по структуре парадокс (назовем его “парадоксом пессимиста”) может быть сформулирован и относительно также более широкого по сравнению с понятием истинности понятия возможности. Действительно, предложение А: “Невозможно А” (НвА), при тех же самых условиях [(а) НвНвp « Вp; (б) ВВp « Вр, НвВp « Нвp] дает цепочку эквивалентностей:

ВА « НвНвА « НвНвНвА (по смыслу А) « «НвВА « НвА.

А удивительно в данном случае то, что логики почему-то совершенно не озабочены введением предиката возможности, построением полного определения возможности в семантически замкнутом языке, формулировкой нетривиальных, информативных условий возможности и т.п., хотя исследованиям по модальным логикам уделяется куда большее внимание, нежели логической теории истины.

Наиболее общей формулировкой, объединяющей представленные выше варианты парадоксальной ситуации, включая парадокс лжеца, по всей видимости является “парадокс глупца”, а именно, предложение “Это предложение противоречит (в каком угодно отношении) своему смыслу”. Ясно, что вопрос, противоречит ли это предложение своему смыслу, приводит к парадоксу: если оно противоречит, то оно не противоречит, и наоборот. Понятно также, что для решения парадокса глупца следует не уточнять условия истинности, а наоборот, максимально абстрагироваться от конкретных условий вместе с каким-либо “информативным” определением истинности.

Следствием приведенных выше аргументов является необходимость уточнения смысла определения истинности в теории истины. Согласно А.Тарскому, при построении теории истины «первая задача состоит в объяснении значения термина “истинное”»⁶. Однако восходящее к Тарскому и широко укоренившееся убеждение в том, что для решения логической проблемы истины нам необходимо редукционистское (т.е. нетривиально сводящее понятие истины к каким-либо иным понятиям) определение истины, является ошибочным.

Не следует забывать, что истоком проблемы истины как логической проблемы является парадокс лжеца, и ничто иное. Однако связанная с этим парадоксом проблема возникает отнюдь не вследствие непонимания или неопределенности понятия истины. При выводе парадокса определенное понимание истины явно присутствует: используются постулаты (а) закон исключенного третьего и (б) значение истинности предложения “p истинно” совпадает со значением истинности самого р. Без этих постулатов из суждения лжеца противоречие просто не может быть выведено. Но их, как показано выше, и достаточно для формулировки парадокса, т.е. для вывода парадокса не требуется какого-либо дополнительного понимания истины. Следовательно, решение парадокса, если оно претендует на универсальность, должно исходить именно из такого “неинформативного” понимания истины. Поэтому методологически корректная, адекватная проблемной ситуации постановка задачи заключается не в требовании дать редукционистское определение истины, а в поиске способов оперирования понятием истины, не приводящих к парадоксу, т.е. способов непротиворечивого выражения истины.

Следует сказать, что и А.Тарский, и Я.Хинтикка допускают “имплицитные” определения истинности, когда понятие истины определяется не в иных понятиях, а через аксиомы, которым оно удовлетворяет. Если ограничиться только таким смыслом “определения” истины, то у нас нет серьезных возражений против требований (i)-(v), за исключением требования (iv), которое, как мы видели, должно быть полностью отвергнуто.

Таким образом, требованию (iv) не место в “семантическом раю”. Данный вывод подтверждается рассмотрением того, как это требование реализовано самим Я.Хинтиккой. В двух словах, суть предлагаемого им решения проблемы определения истины состоит в использовании некоторого второпорядкового языка с ветвящимися кванторами для выражения условий истинности в теоретико-игровых терминах⁷. Как он сам пишет, “ответ на вопрос о тривиальности в любом случае существенно зависит от точки зрения. Информативность или неинформативность формулировки условий истинности предложения, определяется тем, что вы имеете в виду: процесс или результат процесса. Если вы рассматриваете предложение T(s), выражающее условия истинности предложения S с геделевым номером s, само по себе, то оно, несомненно, почти неинформативно. Но в то же время процесс перехода от s к T(s) может быть весьма информативным... Таким образом, ответ на вопрос о тривиальности в конечном счете связан с важностью понимания стратегии игрока для понимания самой игры”⁸.

Выбор выигрышной стратегии безусловно является информативной процедурой. Однако какое отношение подобная информация имеет к парадоксу лжеца и, тем более, к сформулированным выше вариантам парадоксальной ситуации с более общими понятиями? Конечно, теоретико-игровая семантика является мощным и удобным средством логико-семантического анализа. В то же время вряд ли можно безоговорочно принять тезис Я.Хинтикки, что такая семантика, и только она, представляет собой именно тот способ, которым мы проверяем, истинно или ложно предложение в реальных рассуждениях. Предполагать, что Эпименид, формулируя парадокс, подразумевал именно теоретико-игровое истолкование суждений, абсурдно!

Я.Хинтикка, сводя понятие истинности к теоретико-игровым понятиям, видимо, полагает последние менее проблемогенными по сравнению с понятием истинности. Ирония же заключается в том, что в теоретико-игровых терминах также может быть сформулирован парадокс, по логической структуре аналогичный парадоксу лжеца. В совокупности детерминированных игр (т.е. игр, которые могут быть либо выигрываемы, либо проигрываемы) рассмотрим игру g такую, что целью g является проигрыш g. Тогда вопрос о том, выигрываема ли или нет игра g, приводит к парадоксу: если g выигрываема, т.е. ее цель достижима, то она проигрываема, и наоборот.

Изложенное выше не только дезавуирует требование (iv), но и заставляет усилить или обобщить требование (v): идеальное определение истины должно быть независимым не только от модели, на которой интерпретируются предложения языка, но и от конкретной семантической теории, будь то теоретико-множественная, теоретико-игровая семантика или что-нибудь еще. В противном случае соответствующая определению теория истины рискует быть необщепринятой, поскольку приверженцы одной семантической теории могут скептически отнестись к определению истины, сформулированному в рамках иной интерпретации языка.

Рассмотрим теперь требование (iii). Оно действительно является радикальным по отношению к классической теории истины А.Тарского. Напомним, что Тарский строил свою теорию в рамках исчисления предикатов первого порядка. При этом для выражения истинности предложения р им использовалось предикатное выражение Т(“p”), где Т – предикат истины, а “p” – имя предложения р. По Тарскому, определение истины является адекватным, если оно удовлетворяет так называемой Конвенции Т: для каждого предложения р эквивалентность Т(“p”) « p должна логически следовать из данного определения. Задача же логической теории истины сводилась Тарским к требованию построения непротиворечивого и адекватного определения предиката истины.

Полагая, что причиной парадокса является семантическая замкнутость языка, Тарский считал, что единственный возможный способ избежать антиномии состоит в запрещении использования выражений для истинности предложений языка в самом этом языке. В соответствии с таким подходом определить истинность относительно предложений некоторого языка мы можем лишь в отличном от него метаязыке, истинность относительно предложений этого метаязыка – в отличном от него метаметаязыке, и так до бесконечности. И все это относится к любому первоначально взятому языку, каким бы простым он ни был, что резко противопоставляет теорию Тарского обычной практике использования понятия истинности на неформальном уровне даже в языке науки, не говоря уже о естественном языке. Вместе с тем следует отметить, что Тарский строит определение истины в рамках двузначной логики, т.е. в условиях действия закона исключенного третьего, что в совокупности с Конвенцией Т и дает упомянутые выше условия (а) и (б), при выполнении которых только и возможна формулировка парадокса лжеца.

Каким образом можно выполнить требование (iii) и тем самым преодолеть главный недостаток теории истины Тарского? На первый взгляд, естественным кажется обращение к трехзначной логике, в которой допускаются пробелы истинности, т.е. допускается, что значения истинности некоторых предложений могут быть не определены. В этом направлении построена, например, теория истины С.Крипке, в которой предикат истины может быть (хотя и не всюду) определен внутри языка⁹.

Мы ни в коем случае не хотим принизить значимость исследований по трехзначной логике как таковых. Однако в рамках трехзначной логики парадокс лжеца просто не может быть сформулирован. В такой логике не выполняется закон исключенного третьего, т.е. требование (а), и из суждения лжеца нельзя вывести никакого противоречия. С позиций трехзначной логики суждение лжеца (и следствия из него) вовсе не являются чем-то неприемлемым. Подобные суждения в трехзначной логике имеют вполне нормальное, третье, значение истинности (“неопределенно”), аналогичное значению истинности, например, предложения “Снег истинен”. Переход к трехзначной логике означает, таким образом, уход от сути проблемы, связанной с парадоксом лжеца. В рамках трехзначной логики парадокс не решают, а примиряются с ним, “легализуют” его, признавая суждение лжеца вполне нормальным.

Аналогичные замечания применимы и к теории истины, предлагаемой Я.Хинтиккой. В этой теории определенным образом ограничиваются как закон исключенного третьего¹⁰, так и Конвенция Т¹¹, т.е. отрицаются условия (а) и (б), при выполнении которых из суждения лжеца только и может быть выведено противоречие. Однако решение проблемы путем запрещения ее формулировки может быть осуществлено гораздо более простым путем, не требующим привлечения ветвящихся кванторов, логики второго порядка и т.п. Достаточно полностью запретить использование слова “истинное” либо отменить все до одного правила логического вывода, и никакого парадокса лжеца не возникнет.

Таким образом, решение, отвечающее существу проблемы, связанной с парадоксом лжеца, т.е. существу логической проблемы истины, с необходимостью должно осуществляться средствами двузначной логики. Соответствующая теория истины должна также удовлетворять Конвенции Т в полном объеме. Список требований к идеальному решению логической проблемы истины следовало бы дополнить условием, что соответствующая теория истины должна быть формализована минимальными средствами классических логических исчислений. [Это требование не грех включить в “семантический рай” под номером (vi), вернее, после исключения хинтикковского требования (iv), – под номером (v).] Привлечение экзотических и громоздких средств вроде ветвящихся кванторов и/или второпорядковой квантификации, кроме того, что они могут привносить дополнительные проблемы, вряд ли легко найдет понимание у консервативно настроенных логиков.

Выполнить все перечисленные требования, включая требование (iii), можно, если привлечь иные технические средства для выражения истинности. Какие средства, отличные от предиката, могут использоваться в рамках двузначной логики для адекватного выражения понятия истинности? Известно, что в естественном языке истинность выражается и через предикат, и через оператор. В формализованном языке посредством предиката истины Т истинность некоторого предложения р символически выражается через Т(“p”), что по смыслу соответствует фразе «предложение с именем “p” обладает свойством “быть истинным”». Оператор T, сопоставляющий предложению p не предикатное выражение, а другое, производное от p предложение – Tр, по смыслу соответствует фразе “истинно, что ...”, где на место точек подставляется само предложение р, а не его имя. Например, фраза “истинно, что сейчас хорошая погода” выражает истинность предложения “Сейчас хорошая погода”. При этом, значения истинности как предикатного выражения Т(“p”), так и предложения Tp должны, очевидно, совпадать со значением истинности самого предложения р.

Должно ли понятие истины выражаться исключительно посредством предиката? Первым такой способ выражения истины без какого-либо серьезного обоснования использовал А.Тарский. С.Крипке и Я.Хинтикка заимствуют эту идею у Тарского некритически, не анализируя другие возможные способы символического выражения истинности. Произвольность такого выбора становится очевидной, если задаться вопросом, почему в модальных логиках для выражения понятия возможности используется не предикат, а оператор. Чем в плане способов выражения понятие возможности принципиально отличается от понятия истинности, особенно если иметь в виду, что с ним связан парадокс, аналогичный парадоксу лжеца?

Является ли выражение истинности посредством оператора менее естественным или в чем-то менее адекватным по сравнению с выражением истинности посредством предиката? Практически все логики считают, что утверждение об истинности предложения должно иметь в точности ту же дедуктивную силу, что и само предложение, или даже что два этих суждения должны быть полностью эквивалентными. Наиболее радикально эта позиция выражена Дж.Муром: «Суждение “истинно, что солнце сияет”, эквивалентно и, возможно, тождественно обычному “солнце сияет”, которое не говорит ничего о предложениях и не влечет того, что они вообще имеются, поскольку солнце могло бы, очевидно, сиять, даже если бы никто об этом не говорил»¹².

В то же время использование предиката и имен предложений для выражения истинности ipso facto приводит к тому, что суждение об истинности какого-либо предложения содержит информацию об определенной процедуре именования предложений языка, т.е. информацию, которую предложение как таковое не содержит. Использование же для выражения истины оператора лишено этого недостатка. Естественность представления истинности оператором подтверждается также тем обстоятельством, что при таком представлении возможно простое и адекватное моделирование проблемной ситуации, связанной с парадоксом лжеца.

Вообще говоря, попытка смоделировать парадоксальную ситуацию с помощью оператора истинности не является очевидным шагом. Дело в том, что различные версии парадокса объединяет то обстоятельство, что противоречие возникает в них при попытке определить значение истинности самосоотнесенного высказывания, т.е. высказывания, в той или иной форме выражающего суждение о самом себе (в данном случае выражающего суждение о своем собственном значении истинности). В рамках стандартного предикатного подхода для формализации парадоксального суждения используются конструкции типа

(*) предложение (*) ложно,

где (*) понимается как имя предложения, написанного в середине строки.

Возможно ли в принципе смоделировать самосоотнесенность без использования имен предложений? С.Феферман, рассматривая ситуацию с оператором истинности, полагает, что в данном случае “самосоотнесенность не предоставляет возможности построить f, такое чтобы выполнялось f ® ^ù Tf”¹³. Однако если понимать самосоотнесенность как возможность высказываний выражать суждения о самих себе, то для ее осуществления вовсе не обязательно прибегать к именованию предложений, использованию предиката истинности и т.п. В парадоксальном “я сейчас лгу” вовсе не обязательно “неявно предполагать” (А.Тарский) процедуру именования предложений, трактовку истинности как свойства предложений и т.п. Возможность высказываний выражать суждения о самих себе имеется уже и в самом невинном классическом исчислении высказываний.

Действительно, это исчисление непредикативно в том смысле, что на место переменных, входящих в его формулы, можно подставлять сами эти формулы. Так, его схемы аксиом приводят к истинным высказываниям при подстановке на место переменных, входящих в аксиомы, самих аксиом. Например, если на место переменной p в аксиоме p v ^ù p подставить саму эту аксиому, то полученное высказывание (p v ^ù p) v ^ù (p v ^ù p) истинно. И такого рода непредикативность никак не препятствует непротиворечивости классического исчисления высказываний.

В то же время ситуация, аналогичная парадоксу лжеца, при специальном предположении может быть смоделирована и в рамках выразительных возможностей классического исчисления высказываний. Дело в том, что язык классического исчисления высказываний является почти в точности по Тарскому семантически замкнутым: отрицание (т.е. не-истинность) предложений этого языка абсолютно свободно выразимо в нем самом. Рассмотрим высказывание “я отрицаю то, что я сейчас говорю”. Легко понять, что вопрос о том, утверждается ли или отрицается данное высказывание, приводит к парадоксу: если это высказывание отрицается, то оно утверждается, и наоборот. На наш взгляд, приведенное высказывание (особенно если учитывать требование эквивалентности суждения и утверждения о его истинности) по смыслу очень близко к суждению лжеца. Оно очевидным образом формализуется в исчислении высказываний посредством, например, формулы ^ù р, в которой на место р может быть подставлено само ^ù р. При этом легко воспроизвести парадокс: если ^ù р отрицается, т.е. принимается ^{ù ù} р, то, сокращая двойное отрицание и подставляя ^ù р на место р, мы приходим к утверждению ^ù р. Наоборот, если ^ù р принимается, то подставляя ^ù р вместо р, мы приходим к ^{ù ù} р, т.е. к отрицанию ^ù р.

Означает ли это, что классическое исчисление высказываний противоречиво и что определить непротиворечивым образом отрицание относительно формул языка этого исчисления можно только в отличном от него метаязыке и т.д., по Тарскому? Приведенный нами парадокс означает лишь то, что хотя самоотрицающая формула и может быть построена в языке классического исчисления высказываний, ни она, ни ее отрицание не могут быть выведены в таком исчислении. Действительно, условием применимости последнего является то, что значение истинности любого атомарного высказывания однозначно определено. Атомарное высказывание может быть или истинным, или ложным. Поэтому никакая самоотрицающая формула не может быть взята в качестве атомарного предложения. Но вывести ее другим путем невозможно, поскольку правила вывода в исчислении высказываний из истинных высказываний приводят только к истинным.

Для тех, кто посчитает неправомерной аналогию между классическим парадоксом лжеца и приведенным выше “парадоксом отрицателя”, рассмотрим ситуацию, когда классическое исчисление высказываний пополняется оператором истинности Т. В этом случае парадоксальное суждение, т.е. суждение, эквивалентное по своему смыслу суждению о своей собственной ложности, могло бы быть формализовано, например, выражением р*: р « ^ù Тр. В совокупности с Конвенцией Т: р « Тр это давало бы р « ^ù р, откуда следовало бы противоречие. Как и выше, мы можем констатировать, что предложение, эквивалентное выражению р*, не может быть взято как атомарное. Но оно не может быть и выведено в таком исчислении. Рассмотрим ситуацию с более формальной стороны.

Заметим, что при построении определения истины обязательно предполагается, что суждения, не содержащие выражений для истинности, сами по себе не приводят к нежелательным выводам и лишь введение в язык выражений для истинности может привнести парадоксальные следствия. Расширим язык классического исчисления высказываний путем прибавления символа Т и условия: если р – формула, то Тр – формула; если р* – предложение, то Тр* – предложение. Т понимается как оператор истинности, в данном случае даже как одноместная пропозициональная функция, значение истинности которой совпадает со значением истинности аргумента. Введем теперь схему аксиом:

(*)⁰ Тр « р,

в которую на место переменной могут подставляться любые формулы, в том числе и содержащие символ Т. Очевидно, что полученное исчисление является консервативным расширением классического исчисления высказываний. Действительно, мы можем толковать Тр как сокращение выражения ^{ù ù} р, т.е. как двойное отрицание р, либо как пустой оператор, т.е. просто убрать все вхождения символа Т. В этом случае вывод противоречия в исчислении с Т оставался бы таковым, если все вхождения символа Т были бы опущены, т.е. мы получили бы вывод противоречия в классическом исчислении высказываний, что невозможно.

Пусть теперь некоторая теория L⁰ такова, что ее логика не противоречит классическому исчислению высказываний, т.е. ее формулы суть функции истинности, а значение истинности любого предложения однозначно определено. В этом случае добавление к языку теории оператора Т и единственной аксиомы (*)⁰ дает адекватную и непротиворечивую теорию истинности предложений языка расширенной теории. Действительно, для любого предложения q расширенной теории предложение Тq « q доказуемо подстановкой в (*)⁰, а противоречивость расширенной теории, могла бы следовать только из противоречивости теории L⁰. Поскольку при этом на место переменной р в (*)⁰ могут подставляться не только предложения теории L⁰, но и любые другие предложения расширенной теории, в том числе содержащие символ Т, мы получили полное в смысле Я.Хинтикки определение истины, т.е. определение, удовлетворяющее требованию (iii): истинность всех без исключения предложений расширенной теории определена в ней же самой.

С помощью оператора мы можем смоделировать парадокс лжеца и в его другой распространенной версии, когда суждение звучит как «все, что я говорю, ложно». Для этого нам понадобится использовать квантификацию по пропозициональным переменным. Такие кванторы трактуются как подстановочные: ($ p)R(p) истинно, если подстановка некоторого предложения на место переменной p в R(p) приводит к истинному предложению; (" p)R(p) истинно, если подстановка любого предложения на место переменной p в R(p) приводит к истинному предложению. В этом случае парадоксальное высказывание выражается, например, предложением

(1) (" p^ù Tp.

Нетрудно заметить, что при выводе противоречия из суждения «все, что я говорю, ложно» используется предположение о том, что либо данное высказывание – единственное, либо все остальные высказывания ложны. Иначе суждение лжеца в этой форме вовсе не приводит к парадоксу, а становится просто ложным. В соответствии с этим предположением условимся считать, что класс допустимых подcтановок на место квантифицируемой переменной p состоит из одного-единственного предложения (1). Тогда по Конвенции T мы имеем

(2) T((" p)^ù Tp) « (" p)^ù Tp,

а учитывая, что предложение (1) – единственное в классе допустимых подстановок, получаем

(2') (" p)^ù Tp « ^ù T((" p)^ù Tp)

[(" p)Tp " Tp*, если p* – единственное предложение в классе допустимых подстановок]. Но эквивалентности (2) и (2') в совокупности и дают вывод парадокса:

T((" p)^ù Tp) « (" p)^ù Tp « ^ù T((" p)^ù Tp),

т.е. (читая эквивалентность слева направо) предположив истинность предложения (1), мы приходим к выводу о его ложности, и (читая справа налево) наоборот.

В исчислениях, построенных по обычным принципам классического исчисления высказываний, предложения типа (1) не могут, как уже выше говорилось, быть взяты в качестве атомарных предложений. Кроме того, в таких исчислениях не могут быть реализованы предпосылки, при которых суждение лжеца в рассматриваемой форме является парадоксальным, а не просто ложным. В них класс допустимых подстановок никогда не содержит единственное предложение и не может быть ситуации, когда «все остальные предложения ложны», так как если имеется хотя бы одно предложение, отличное от высказывания лжеца, то в случае его ложности его отрицание также будет предложением, причем истинным.

Для построения адекватной теории истины в языке с квантификацией по пропозициональным переменным¹⁴ расширим язык классического пропозиционального исчисления путем прибавления символов "и $ для кванторов, а определение формулы расширяется так, что если R(p) – формула, содержащая свободные вхождения пропозициональной переменной p, то (" p)R(p),
($ p)R(p) – формулы. Кванторы, как мы уже говорили, имеют подстановочную интерпретацию. Дедуктивный аппарат получается из аксиом и правил вывода исчисления предикатов первого порядка, например, с помощью fp-преобразования¹⁵. В результате аксиомы полученного исчисления L включают:

(1) все схемы аксиом классического пропозиционального исчисления;

(2а) R(q) ® ($ p)R(p),

(2б) (" p)R(p) ® R(q),

а правила вывода наряду с правилом modus ponens содержат также два правила:

S ® R(p) R(p) ® S

S ® (" p)R(p) ($ p)R(p) ® S

с обычными ограничениями на вхождения переменных.

Расширим далее язык исчисления L путем прибавления символа T и условия: если R – формула, то T(R) – формула. Класс аксиом расширим, добавив аксиому

(*)¹ ("p)(Tp « p).

Легко понять, что полученное исчисление LT непротиворечиво, если непротиворечиво исчисление L: так же, как и ранее, мы можем толковать Tp как сокращение выражения ^{ù ù} p либо как пустой оператор, т.е. просто убрать все вхождения символа T.

Что касается непротиворечивости исчисления L, то, как кажется на первый взгляд, тут не может быть каких-либо сомнений, поскольку оно представляет собой не что иное, как упрощенный вариант исчисления предикатов первого порядка. К тому же использование кванторов по пропозициональным переменным широко используется в логике на неформальном уровне. Однако, как оказалось, это требует дополнительных пояснений: “Это (непротиворечивость исчисления L. – А.Б.) не очевидно и не доказано. Трудность состоит в том, что неочевидно, что введенная непредикативная (т.е. такая, что на место переменной p в предложение (" p)Fp может подставляться само это предложение. – А.Б.) подстановочная квантификация не противоречит классической логике”¹⁸.

Однако, поскольку исчисление L надстраивается над классическим двузначным исчислением высказываний, предложения, составляющие класс допустимых подстановок в L, понимаются как принимающие лишь два значения – “истинно” и “ложно”. Поэтому мы можем понимать, например, формулу (" p)Fp как сокращение для R(p v ^ù p) & R(p & ^ù p). Рассуждая более строго, предположим, что исчисление L противоречиво. Тогда таковым тем более должно быть исчисление L₁, полученное из L путем прибавления двух аксиом:

(4а) (" p)R(p) « (R(p v ^ù p) & R(p & ^ù p))

и

(4б) ($ p)R(p) « (R(p v ^ù p) v R(p & ^ù p)).

Однако в исчислении L₁ кванторы могут быть элиминированы, и при этом введенные при построении исчисления L дополнительные к классическому пропозициональному исчислению аксиомы и правила вывода не расширяют класс доказуемых формул последнего. Это элементарно проверяется индукцией по длине вывода.

Рассмотрим сначала дополнительные аксиомы. Предложение вида R(q) ® ($ p)R(p) может быть ложным только тогда, когда R(q) истинно, Но в этом случае ($ p)R(p) также будет истинным, поэтому такое предложение не может быть ложным. Предложение вида (" p)R(p) ® R(p) может быть ложным только тогда, когда R(q) ложно. Но в этом случае (" p)R(p) также не может быть истинным, поэтому такое предложение не может быть ложным.

Пусть теперь в результате применения правила вывода 3а получена нетождественно-истинная формула S ® (R(p v ^ù p) & R(p & ^ù p)). Она может быть таковой только тогда, когда при некотором наборе V истинностных значений свободных переменных, входящих в S (среди которых, естественно, нет переменной p), S принимает значение “истинно”, в то время как консеквент импликации ложен. Поскольку консеквент представляет из себя конъюнкцию, он ложен, когда оба конъюнкта ложны. Если ложен первый конъюнкт, то при том же наборе V формула S ® R(p) будет ложной, когда переменная p принимает значение “истинно”, а если ложен второй – когда p принимает значение “ложно”. Таким образом, мы можем получить нетождественно-истинную формулу как следствие применения правила вывода 3а только тогда, когда посылка вывода также является нетождественно-истинной.

Пусть в результате применения правила вывода 3б получена нетождественно-истинная формула (R(p v ^ù p) v R(p & ^ù p)) ® S. Она может быть таковой только тогда, когда при некотором наборе V истинностных значений свободных переменных, входящих в S (среди которых нет переменной p), S принимает значение “ложно”, в то время как антецедент импликации истинен. Поскольку антецедент представляет из себя дизъюнкцию, он истинен, когда один из дизъюнктов истинен. Если истинен первый дизъюнкт, то при том же наборе V формула R(p) ® S будет ложной, когда переменная p принимает значение “истинно”, а если истинен второй – когда p принимает значение “ложно”. Таким образом, мы можем получить не тождественно-истинную формулу как следствие применения правила вывода 3б только тогда, когда посылка вывода также является нетождественно-истинной.

Таким образом, на любом шаге вывода из тождественно-истинных формул мы можем получить только тождественно-истинные же. Поэтому ни на каком шаге вывода не может быть получено противоречие. Следовательно, исчисление L₁ непротиворечиво, а значит, непротиворечиво и исчисление L, т.е. непредикативность использованной в нем квантификации (которая имеет тот же самый смысл, что и непредикативность операций исчисления высказываний) не приводит к противоречию. А это означает, что непротиворечиво построенное выше исчисление LT. Поскольку же допустимыми подстановками в пропозициональные переменные в этом исчислении являются все предложения, как не содержащие символ T, так и включающие его, это исчисление дает полное в смысле Хинтикки определение истины внутри языка, т.е. оно удовлетворяет требованию (iii).

Заметим, что доказательство непротиворечивости исчисления LT опровергает вывод Г.Ресталла о противоречивости исчислений с непредикативной квантификацией по высказываниям¹⁷. Он приводит пример, когда высказывание p тождественно предложению (" x)(x=p ® ^ù x), означающему, что любое высказывание, тождественное p, ложно. Данное предложение представляет собой одну из возможных формализаций суждения лжеца. Ресталл строит вывод противоречия следующим образом:

(1) (" x)(x=p ® ^ù x) v ^ù (" x)(x=p ® ^ù x) закон исключенного третьего;

(2) (p=p ® ^ù p) v ^ù (" x)(x=p ® ^ù x) (2а);

(3) ^ù p v ^ù (" x)(x=p ® ^ù x) так как p=p;

(4) ^ù (" x)(x=p ® ^ù x) ^ù p есть ^ù (" x) (x=p ® ^ù x);

(5) ($ x)((x=p) & x) классические эквивалентности;

(6) p если x истинно и p=x, то p истинно;

(7) p & ^ù p (4) и (6).

“Пропозициональная квантификация – это все, что нужно для вывода парадокса, если мы имеем предложение p”¹⁸, – заключает он. “Попытки вообще исключить появление предложений, подобных p, являются ad hoc до тех пор, пока такой запрет не обоснован какими-либо независимыми аргументами”¹⁹.

Следует указать, что наряду с пропозициональной квантификацией Г.Ресталл использует также понятие равенства предложений. Однако в отличие от естественного для индивидов понятия равенства равенство высказываний – весьма загадочная доктрина. Что понимать под равенством высказываний: синонимию? тождество смыслов? Любой из ответов сталкивает нас с труднейшими проблемами. Для высказываний в данном случае гораздо более естественно понятие эквивалентности.

Главной же ошибкой Г.Ресталла является то, что на шаге (4) в представленном выводе использована недоказанная и недоказуемая формула p = (" x)(x=p ® ^ù x). Действительно, если эта формула берется как дополнительная аксиома, то отсюда сразу следует, что p в этой формуле не может быть ни пропозициональной переменной, ни атомарным предложением. Действительно, из равенства немедленно следует вывод

p ® (" x)(x=p ® ^ù x) ® (p=p ® ^ù p) ® ^ù p,

что означает неопределенность значения истинности предложения р. А это противоречит предпосылке применимости классического исчисления высказываний, согласно которой это исчисление применимо лишь к высказываниям, значения истинности которых однозначно определены во множестве {“и”, “л”}. Доказательство же непротиворечивости исчисления LT свидетельствует о том, что эта формула не может быть и выведена, даже если мы расширим классическое двузначное исчисление высказываний непредикативной пропозициональной квантификацией.

Таким образом, нет никакого смысла “исключать появление предложений, подобных p”. И дело тут вовсе не в пропозициональной квантификации. Как мы видели ранее, парадоксальное суждение может быть сформулировано и без всяких кванторов, в классическом пропозициональном исчислении, например через формулу p « ^ù p или, если угодно, через p = ^ù р. Однако ни эти формулы, ни предложение p Г.Ресталла невыводимы, равно как и вытекающий из них парадокс.

Возвращаясь к главной теме статьи и подводя итоги, мы должны заключить, что предложенный Я.Хинтиккой “семантический рай” нуждается в серьезной реконструкции. Требование (iv) следует исключить за излишнюю приземленность, а требование (v) – еще более очистить от всего мирского. И вообще, следует быть ближе к заветам, к первоисточнику, каковым является парадокс лжеца. Следует также с большим уважением относиться к писаниям святых отцов, проливших свет истины в канонических классических исчислениях.

Все эти требования, равно как и оставшиеся неревизованными требования Я.Хинтикки, можно выполнить, используя оператор истины и подстановочную квантификацию по пропозициям. Построенное исчисление LT и делает это.

Примечания

¹ См.: Hintikka Ja. Defining truth, the whole truth and nothing but the truth. – Helsinki: Hakapaino Oy. – 1991.  – Р.1,2.

² Ibid. – P.3.

³ Tarski A. The concept of truth in formalized languages // Logic, semantics, metamathematics: Papers from 1923 to 1938, by Alfred Tarski. – L., 1956. – P.152-278.

⁴ Kripke S. Outline of a theory of truth // Journю of philosophy. – 1975. – 72. – P.690-716.

⁵ См.: Hintikka Ja. Defining truth…  – Р.16, 20.

⁶ Тарский А. Истина и доказательство // Вопр. философии. – 1972. – №8. – С.136.

⁷ См.: Hintikka Ja. Defining truth…  – Р.25.

⁸ Ibid. – P.40, 41.

⁹ Kripke S. Outline of a theory of truth.

¹⁰ См.: Hintikka Ja. Defining truth…  – Р.19, 20.

¹¹ Ibid. – P.20, 21.

¹² См.: The encyclopedia of philosophy – N.-Y., 1967. – V.2. – Р.229.

¹³ Feferman S. Toward useful type-free theories // Recent essays on truth and liar paradox / Ed. by R.Martin. – Oxford: Clarendon Press, 1984. – Р.245.

¹⁴ Бессонов А.В. Предметная область в логической семантике. – Новосибирск: Наука, 1985. – С.86-94.

¹⁵ Фейс Р. Модальная логика. – М.: Наука. – 1974. – С.160, 161.

¹⁶ Анонимный рецензент Notre Dame journal of formal logic, 1995, личная переписка.

¹⁷ См.: Restall G. Deviant logic and the paradoxes of self reference // Philos. studies. – 1993. – V.70. – P. 282-283.

¹⁸ Ibid. – P.283.

¹⁹ Ibid.