ЛОГИКА, МАТЕМАТИКА И ПАРАДОКС “ЛЖЕЦА”

Черепанов С.К.

I. В работе, опубликованной в этом журнале ранее, мы изложили новый взгляд на проблему обоснования математики [1]. Как известно, предпринимавшиеся на протяжении последнего столетия попытки обосновать математику окончились неудачей. При ближайшем рассмотрении выясняется, что сама задача обоснования в ее традиционной постановке имеет характер “порочного круга”. Действительно, методы, применяемые в элементарной теории чисел, являются основанием строгости и надежности для любой сферы математического знания, и поэтому доказательство непротиворечивости элементарной теории чисел вынужденно опирается на надежность нашей теоретико-числовой интуиции. Но именно последнюю и предстояло обосновать в первоочередном порядке.

Целью любой обосновательной деятельности принято считать открытие в обосновываемом предмете (гипотезе, теории, науке) таких черт, которые не были известны ранее и благодаря которым обосновываемое становится более приемлемым, более ценным, более значимым, чем раньше, прежде всего в практической сфере [2].

Открытие нового взгляда на основы математической надежности и достоверности, коренящиеся в интуиции натурального числа, может состояться в том случае, если сами натуральные числа перестанут рассматриваться как нечто “данное Богом” или “природой вещей” и смогут обрести статус детерминированного возникающих сущностей [3]. Разумеется, нельзя использовать в качестве факторов, проясняющих интуицию числа и принципы их детерминации какие-либо количественные отношения или свойства, характерные для натуральных чисел в целом (например, свойство “иметь последователя”), не говоря уже о производных от них абстракциях типа мощности или ординала. В этом случае обосновательный замысел вновь может оказаться методологически несостоятельным, как это произошло, к примеру, с логицистским или теоретико-множественным подходами к определению числа [4].

Напомним, что упомянутые подходы строились на отвлечении от способности осуществлять процедуры счета, апеллируя взамен к способности устанавливать 1–1-соответствие (эквивалентность) между элементами произвольных совокупностей. В результате конкретное натуральное “К” определялось как класс всех эквивалентных по фактору “К” совокупностей, а число вообще – как класс всех классов эквивалентности. Заметим, что пока процедура установления эквивалентности касается двух совокупностей, идея 1–1-соответствия между ними не предполагает знания их количественной определенности. Но при появлении трех и более совокупностей понятие соответствия становится вариативным. Предположим, зафиксировано соответствие между тремя парами различных предметов: {А}, {В}, {С}. Если смысл количественного равенства не известен (и нет причин требовать также транзитивности равенства), то какую следующую эквивалентность мы должны зафиксировать: эквивалентность по фактору “2” или по фактору “3”? Получается, что невозможно ввести определение числа через класс эквивалентности, не постулируя готовую способность различать и идентифицировать количественные определенности.

Таким образом, корректное и последовательное прояснение природы числа не должно сводиться к моделированию чисел в терминах иных математических конструкций, так или иначе зависящих от интуиции количественной определенности. По мнению ряда исследователей, данное требование практически невыполнимо в силу фундаментальности нашей количественной интуиции [5]. Однако ничто не мешает нам использовать в качестве факторов, проясняющих интуицию числа, такие свойства и отношения действительности, которые имеют максимально универсальный характер в том смысле, что присущи не только сфере количественной, но и сфере качественной (истинностной) определенности. В этом случае обоснование избегает скрытых логических ловушек, о которых в свое время не уставал напоминать А.Пуанкаре, анализируя логицистские и формалистские трактовки натуральных чисел [6]. В рамках формализма, как известно, натуральные числа рассматриваются как спецификация объектов произвольной природы, порождаемых из некоторого исходного объекта посредством некоторой одноместной операции таким образом, что любой новый порожденный объект отличен от всех ранее порожденных и что процесс порождения продолжается неограниченно долго [7].

Обратимся к ключевым, на наш взгляд, моментам изложенной позиции, связанным с использованием понятий новизны объекта и неограниченного продолжения процесса порождения новых сущностей. При этом отвлечемся от теоретико-числовых ассоциаций, касающихся числа, счета и т.п., и задумаемся, где в человеческой практике используется, во-первых, идея неограниченного процесса, во-вторых, идея процесса, приводящего к возникновению нового. Однозначного ответа, по-видимому, не существует. Но есть ситуации, когда отказаться от введения нового нельзя, потому что такой отказ влечет за собой неприемлемые для науки последствия. “Когда в процессе изменения интересующей нас сферы действительности мы сталкиваемся с противоречивой ситуацией, то нередко оказывается, что для ее разрешения следует выработать (изобрести) новые понятия” [8].

Принимая обрисованную точку зрения, можно полагать, что ссылка на неограниченность является завуалированным выражением неполноты, неокончательности, незавершенности разрешения рассматриваемого противоречия через введение новых сущностей. Последнее означает, что само появление новых сущностей создает дополнительные проблемы, требующие своего решения. В результате этого процесс все время продолжается. “Дополнительная проблемность” связана, конечно, с необходимостью подтверждения новизны вводимых сущностей. Подтверждение же – сложная процедура. Ее использование в дедуктивной логике вызывает много вопросов. В итоге рост количества проблем опережает появление возможностей их разрешения.

Резюмируя сказанное, констатируем: появление новых объектов, способных играть роль натуральных чисел (“определенных количеств”) в рамках декларируемого обосновательного замысла будет связано с разрешением ряда противоречий. Эти противоречия не являются плодом нашей фантазии. Право представлять их мы резервируем за известными логико-семантическими парадоксами. В этом смысле детерминированная модель порождения натуральных чисел основана на разрешении парадоксов.

Несколько слов о самих парадоксах. Хорошо известно, что открытие теоретико-множественных и связанных с ними семантических парадоксов нанесло серьезный удар по вере в надежность нашей логической интуиции. Говорить о надежности здания математики в условиях кризиса логической определенности казалось бессмысленным. Не бессмысленно, однако, попытаться увидеть в кризисе одних форм определенности (в данном случае – логической или качественной) предпосылки становления других форм определенности (количественной). Под этим углом зрения мы и будем в дальнейшем рассматривать ряд парадоксов, начиная с парадокса “лжеца” и кончая парадоксом Ришара (Берри – Ришара).

II. Что дает основание видеть в парадоксах интенцию количественной определенности? Укажем на четыре момента.

Во-первых, в антиномиях “лжец”, “парадокс доказуемости”, Греллинга – Нельсона, Ришара – Берри и ряде других мы сталкиваемся с противоречием между фактической данностью, которая возникает непосредственно в ходе рассуждений (или же провоцируется самой постановкой вопроса), и имеющимися в нашем мышлении правилами классификации и оценивания информации, играющими инструментальную роль.

Мы прекрасно понимаем, что невозможно измерять температуру у термометра. Столь же нелепо оценивать в терминах истинности сам факт оценивания, даже если он выражен в виде фразы или предложения. Точно так же нельзя установить гетерологичность слова “гетерологическое” или применить логические правила вывода к их собственным записям [9]. Если же при этом мы все-таки позволяем смешивать обозначение с обозначаемым, имя – с денотатом, акты оценивания исследуемых объектов – с самими объектами, значит, мы допускаем существование нового типа реальности, относительно которой все традиционные логические и гносеологические средства становятся ограниченно применимыми, утрачивают ясность и однозначность. Реальность подобного типа должна иметь одну характерную особенность: понятие количественной определенности в ней следует признать относительным. Таким образом, одним из решающих факторов, позволяющих видеть в парадоксах интенцию количественной определенности, является присутствующая в любом парадоксе ситуация отождествления различного. Без овладения подобным искусством невозможно абстрагироваться от качественной природы объектов и перейти к количественному восприятию действительности. Нужно только грамотно и корректно произвести отвлечение, установив границы допустимого отождествления разнокачественного и создав тем самым основы количественного видения реальности.

Овладение этим искусством одновременно является и разрешением парадоксов – усвоением заключенной в них рациональной идеи и ее воплощением в рациональной, логически корректной форме. В этом смысле обоснование математики заключается в разрешении парадоксов, породивших обосновательный кризис [10].

Во-вторых, во всех парадоксах приходится сталкиваться с ситуацией вовлечения в русло логического исследования чужеродной информации. Эта информация имеет фактуальный характер в том смысле, что связана с фактами применения или употребления нашего исследовательского инструментария. К примеру, в парадоксе доказуемости (выражении самонедоказуемости) “доказательство недоказуемого” рождается как результат использования способности нашего мышления к непротиворечивости. В парадоксе Ришара некоторый способ фиксации множества всех вычислимых функций (также отражающий одну из наших базовых логических способностей) служит основанием для введения новой вычислимой функции, отличной от множества всех вычислимых функций. Аналогично этому (парадокс Берри) констатация отсутствия описания наименьшего из не упомянутых в ХХ в. натуральных чисел оказывается некоторым описанием такого числа, совершенным в ХХ в.

Сходство всех этих ситуаций наводит на мысль: если мы желаем упразднить или скорректировать принятые в логике традиции оценивания информации, не покидая рамок самой логики, нужно “столкнуть” ее с необходимостью оценивания фактов. Мы полагаем, что “ассимиляция” логикой фактуальной информации может сыграть очень важную роль при конструировании количественного аспекта действительности. Дело в том, что фактуальные истины не могут верифицироваться средствами истинностной комбинаторики. Логика бессильна доказать, что “трава зеленая”, а “погода дождливая”. Для верификации таких суждений обычно вводится процедура подтверждения.

Очевидно, установление истинности по крайней мере некоторых фактуальных суждений тождественно самой их формулировке, на что в свое время обратил внимание А.Тарский (принцип: РºТ(Р)). В этом случае подтверждением фактуального суждения типа “дождь идет” может быть процедура его повторения, указывающая, что явление, о котором произведено суждение, продолжает существовать: “дождь идет… дождь идет…”. Справедливо и обратное. Констатация речевого акта, выражающего некоторое утверждение, может в определенных обстоятельствах выполнять оценочную функцию (т.е. иметь гносеологическую нагрузку). Научить логику учитывать специфику внелогических критериальных процедур – значит научить ее различать количественный аспект реальности [11].

В-третьих, ориентация на введение в русло дедуктивной логики специфики внелогических критериальных процедур позволяет решить еще одну очень важную задачу. Внелогические акты способны играть роль факторов детерминации теоретического процесса, создавая внутри него проблемные ситуации (парадоксы), которые и предопределяют дальнейшее развертывание теоретического поиска. Особенно значимы подобные факторы при отсутствии собственно теоретического закона, обеспечивающего продолжение интересующего нас процесса. А в собственно логическом арсенале нет ни принципа полной индукции, ни аксиомы выбора, ни им подобных порождающих процедур, аналогичных заданию натурального ряда чисел (N).

Конечно, использование “эмпирической данности” как детерминанта при реконструкции последовательности количественных образов предполагает лишь конечное число последних. Можно, однако, конечность сделать достаточно неопределенной [12], – важна ведь не бесконечность как таковая, а автономность мира абстрактных количественных сущностей от физической реальности в любых ее проявлениях.

В-четвертых, с отмеченной ролью фактуальной информации в процессе порождения количественных образов тесно связана еще одна особенность предлагаемой реконструкции натуральных чисел как детерминированных сущностей. Обратившись еще раз к опыту теоретико-множественного подхода, мы можем заметить, что определение числа через установление фактор-эквивалентности уже предполагает развитую способность к абстрагированию от качественной природы сравниваемых объектов. В трактовке множеств как абстрактных количеств эта способность реализована в полной мере, поэтому строить определение числа в рамках абстрактной теории множеств некорректно. Если же рассматривать эмпирические совокупности, то процедура установления 1–1 соответствия совокупностей становится неоднозначной (о чем мы говорили выше).

Смысл испытываемых затруднений состоит в том, что процедура отвлечения от качественной природы объектов не существует в готовом виде. Нет и универсального алгоритма ее осуществления. Скажем, отвлечение от особенности геометрической формы тел предполагает одни механизмы, а отвлечение от различия имени и денотата, знака и обозначаемого – другие. Таким образом, то, что кажется очевидным в одной ситуации установления соответствия, не выглядит таковым в других. В целом же приходится допускать ситуативность решения задачи установления соответствия, что естественно в условиях трактовки процедуры отождествления различного как неалгоритмического, нестандартизируемого акта.

Признание этого обстоятельства расходится с традиционной интуитивной версией порождающей процедуры как однообразной шаблонной деятельности (счет). В нашей модели реконструкции количественных образов появление каждого нового образа сопряжено с решением одной или нескольких проблем, характер которых не может быть полностью известен заранее. Поэтому ни один парадокс сам по себе недостаточен для порождения всех количественных образов. Разрешать парадоксы порознь бессмысленно. Более того, как будет показано ниже, парадоксы взаимосвязаны, и рациональное осмысление, скажем, парадокса Ришара (Берри) не может состоятся без предварительного решения “парадокса лжеца” и “парадокса доказуемости”. Последние вообще играют ключевую роль в логике: на них ложится главная концептуальная нагрузка при конструировании количественных образов.

III. Выстраивая перспективу восхождения от “чистой” логики, не знающей идеи количества, через разрешение парадоксов к математике, мы должны начать этот процесс с решения проблемы “лжеца”. Во-первых, этот парадокс лежит в основаниях логики, затрагивая наиболее фундаментальные вещи – истинность и процедуру ее установления. Во-вторых, “лжец” не просто заключает в себе идею возможного отождествления различного (об этом “говорят” практически все парадоксы), но и подсказывает, как и за счет чего подобное отождествление могло бы произойти, чтобы не дискредитировать при этом наши логические принципы (непротиворечивость). Разрешение “парадокса лжеца”, таким образом, сводится к санкционированию отождествления различного в строго фиксированных пределах, что и позволяет в этих пределах абстрагироваться от качественной природы объектов, открывая перспективу конструирования количественной картины реальности.

Ранее уже отмечалось, что общая черта всех парадоксов состоит в том, что они вынуждают нас обращать внимание не только на объект, который иследуется, но и на то, как, какими средствами фиксируются получаемые результаты. Парадокс, таким образом, имеет структуру рефлективного акта. “Лжец”, разумеется, не является исключением. Он ставит нас перед необходимостью оценивать в терминах истинности сам акт оценивания (провозглашения или написания некоторой оценки), который является эмпирическим событием и должен быть отнесен к “истинам факта”.

Логика, конечно, бессильна верифицировать фактуальную информацию, справедливо полагая, что здесь должны сказать свое слово другие науки. Однако если речь заходит о фактах самой логики, т.е. о явлениях, возникающих в ходе логического анализа, то ситуация уже не выглядит столь однозначной. Собственно, логика всегда “принимала вызов”, в результате чего в ней скопилось столько экзотических систем – начиная с теории употребления предиката истины Тарского – Крипке и кончая “насыщенными” (glat) параконсистентными и “небулярными” (gар) конструкциями [13], – что впору вводить в нее экологическую тематику. Тем более, что изобилие всяких модификаций лишь усиливает вокруг того же “лжеца” ореол интуитивно неразрешимой проблемы [14].

Между тем “секрет” “лжеца” достаточно прозрачен, даже с учетом того, что мы действительно не до конца понимаем, о ложности какого предложения идет речь в этом парадоксе. Все, что требуется от логики, – это научиться последовательно и определенно высказываться о фактах провозглашения или приписывания истинностных значений (прежде всего, ложности), облеченных в форму высказывания или предложения. В общем случае “акт провозглашения ложности” – это разновидность речевого поведения (письменного или устного) как такового. Иными словами, если “я говорю ложь” (“я лгу”), то я прежде всего совершаю акт “говорения” (выражения мысли) и только потом – акт оценивания какого-то подразумеваемого содержания.

Подчеркнем, что научить логику “откликаться” на сами факты произнесения или написания известных оценок – значит сделать ее чувствительной к нюансам формы выражения мыслительного содержания, что несвойственно современной “формальной логике”. Последняя, хотя и строится формально (комбинаторно), все же ориентирована на отражение содержательного аспекта мышления, пусть и взятого в предельно общей форме – форме противоположности истинного и ложного содержания [15].

С учетом сказанного становится очевидным следующее:

1) никакие модификации классической истинности ничего, кроме методологической эклектики, принести не могут;

2) чтобы смоделировать специфику парадоксальной ситуации “лжеца”, необходимо иметь что-то наподобие теории языковых форм, или способов выражения мысли как самостоятельных объектов изучения, рассматриваемых безотносительно к содержательным аспектам языка и истинностной шкале оценивания. Желательно было бы очертить комбинаторные возможности такой “теории”, а затем ввести соглашения, санкционирующие представимость ее объектов в образе пропозициональных выражений L2, т.е. как субъектов истинностной комбинаторики. Именно подобная представимость объясняла бы и оправдывала не прекращающиеся попытки установить истинностное значение “лжеца”.

Реализацию изложенного замысла начнем с описания форм языковых выражений как самостоятельных сущностей. При этом мы не ставим целью обсуждать лингвистическую типологизацию речевых средств. Все, что может логика, – это дать первичную схему классификационных признаков (или факторов оценивания) какого-либо типа выразительных средств (например, предложений). В частности, мы можем разделить языковые формы, имеющие вид предложений, на бессмысленные и осмысленные, выделяя среди последних универсально осмысленные и ситуативно осмысленные, т.е. такие, смысл которых может меняться в зависимости от характера, состояния, целей субъекта и которые вне перечисленных условий не могут считаться определенными.

Чтобы не ввязываться в схоластическую дискуссию по поводу взаимоотношения “смысла” и “формы”, начатую еще Аристотелем, можно перейти к более “инструментальной” терминологии, характеризуя, например, языковые выражения по степени их информативности. Предполагая, что предложение тем богаче с информационной точки зрения, чем большее количество возможностей (альтернатив) исключается при его принятии [16], можно было бы подразделять формы, или способы организации информации, на заведомо неинформативные, минимально (формально) информативные и все остальные, отличные от минимально информативных и не фиксируемые однозначно.

Нельзя, разумеется, отрицать, что осмысленность и информативность, по большому счету, синонимичны. Простейшим случаем осмысленной деятельности является способность различать фрагменты действительности, т.е. фиксировать множественность, неоднозначность реальности. Соответственно информация в общем случае также определяется как мера разнообразия. Принципиальным на самом деле является не название классификационных характеристик языковой формы, а триадичность их представления, заключающая в себе прообраз количественной определенности, формирующейся через признание относительности всякого качества и, тем самым, качественности как таковой. “Тройка” является простейшей моделью качественной относительности. В ней один элемент должен олицетворять отсутствие качества, а два других фиксируют степень его проявленности (лучше – хуже, больше – меньше и т.д.). При этом резонно предположить, что “степень проявленности” качества может символизировать и способ его данности. В одном случае распознавание происходит достаточно легко, на уровне чувственного восприятия, в другом – более сложно, требует мобилизации не только чувственных, но и интеллектуальных усилий.

Безусловно, чувствительность к нюансам проявления одного и того же качества (а в случае “лжеца” “качеством” становится языковая репрезентация оценочной деятельности) – сложное свойство, которое не возникает в одночасье. Дифференциация языковых форм и эволюция выразительных возможностей человека происходииа и происходят одновременно с предметным освоением действительности, но этот процесс требует отдельного анализа [17].

С учетом сказанного выше мы вводим специальную “шкалу” информативности языковых форм s, состоящую из трех показателей: символа неинформативности 0, символа определенной информативности I и символа всякой иной, отличной от I информативности Н. Мы не фиксируем линейного порядка на “шкале” s, чтобы не предвосхищать появление количественных образов, и ограничиваемся лишь частичным порядком: 0< {I,H}. В этом плане термин “шкала” достаточно условен.

Для обозначения элементарных актов языковой деятельности (элементарных предложений) будем использовать список переменных С, состоящий из букв латинского алфавита с двоеточиями: p:, q:, r:… Никаких специальных композиционных принципов на данном этапе не фиксируется, чтобы не усложнять изложения.

Возвращаясь теперь к нашей главной теме – проблеме представления средствами L2 факта произнесения (написания) истинностных оценок, за которым, как уже отмечалось, стоит признание существования “чистой формы” выражения мыслей как самостоятельной сущности, можем констатировать, что “акт говорения” представим множеством выражений из С, определенных на s.

Поскольку данность формы в “чистом виде” (акт говорения) составляет то содержание, которое надо выразить в виде пропозиционального выражения L2, могущего быть либо И, либо Л, постольку надо научиться не замечать различия между сущностями, определенными на {И, Л}, и сущностями определенными на s [18]. С этой целью мы установим соответствие между {И, Л}и s (а), а затем распространим комбинаторные принципы L2 на сущности, определенные на s (b). После этого рассмотрим вопрос о возможности графического отождествления одноименных (буквенно эквивалентных) переменных и возникающих при этом последствиях (с).

(а) При установлении соответствия между областью “И,Л” и s будем исходить из того, что истинностное значение “Л” фиксирует неадекватность содержания мысли реальному положению дел. Поэтому “Л” не может быть представима информативными формами (хотя в мире метафор и намеков “ложность” может представать в самых неожиданных формах). Отсюда Л=0; И={I, Н}.

(b) “Распространяя” операции L2 на s, можно выбрать различные варианты определения “V”, “&”, “~”, каждый из которых легко сводим к соответствующему “пропозициональному аналогу”. Однако мы не хотим, чтобы “&” и “V” на s повторяли себя, так как в этом случае отличие s от {И, Л} уходит “в тень”. Наоборот, мы полагаем, что пара {И, Л} может трактоваться как предельный случай s, поскольку любая определенность – не более, чем “начальный отрезок” неопределенности. Именно поэтому Н может появляться в области значений “V” даже при отсутствии его в области определения “V”. Благодаря данному обстоятельству пара {0,I} оказывается принципиально несводимой к паре {Л, И}. В итоге получаем табл. 1 и 2, задающие новую, неистинностную семантику L3.

Т а б л и ц а 1

р:	~p:
0	I
I	0
H	0

Т а б л и ц а 2

p:	q:	P:Vq:	p:&q:
0	0	0	0
0	I	I	0
0	H	H	0
I	0	I	0
I	I	H	I
I	H	H	H
H	0	H	0
H	I	H	H
H	H	H	H

(с) Если теперь мы отождествим графические переменные L2 с одноименными переменными из s, то получим пропозициональный синтаксис, имеющий две неизоморфные интерпретации – L2 и L3 (в дальнейшем будем называть его единым языком – ЕЯ). Следствием этого становится разбиение класса L2-И на “постоянные” (I – формулы ЕЯ) и “переменные” (I, Н – формулы ЕЯ) выражения в L3-интерпретации, что, в свою очередь, дискредитирует “стандарт” логической доказуемости. Таким образом, “не замечать” различия между сущностями, определенными на s, и пропозициональными выражениями L2 в общем случае нельзя.

Однако в частном случае представимость средствами L2 содержательных утверждений, касающихся фактов употребления средств L2, может иметь место. Ключ к решению проблемы подсказывает сам “лжец”. Оказывается, что если мы хотим содержательное сообщение, фиксирующее вполне определенное эмпирическое событие – акт выражения результата оценочной деятельности, рассматривать по канонам классической формальной логики L2, то достаточно просто “навесить” на данное сообщение предикат ложности. Этим приемом достигается своеобразное обесценивание заключенной в содержании информации: если она кому-то кажется ложной, то ею становится опасно пользоваться. “Ложно то, что я говорю”, – означает попросту уведомление о том, что содержание сказанного мной не следует принимать во внимание, а следовательно, не нужно и выяснять его истинностное значение (что безуспешно пыталось делать не одно поколение исследователей). Таким образом, содержание сказанного лжецом должно быть проигнорировано. Его следует рассматривать только как формально информативную сущность, аналогичную пропозициональным переменным L2.

Итак, приписывание предиката ложности содержательному сообщению выполняет “нейтрализаторскую” функцию, открывая возможность для адекватной, не чреватой коллизиями представимости некоторых фактуальных истин высказываниями в смысле L2. Кстати, отождествление предиката ложности с оператором “нейтрализации” (отрицания) имеет параллели в ряде естественных языков. Например, когда-то русский глагол “врать” был синонимом глагола “говорить” и лишь позднее приобрел нынешний смысл [19]. Фраза “я вру” в этом случае имела смысл “я говорю”, произнесение которой автоматически становилось свидетельством ее истинности.

Таким образом, “лжец” подсказывает нам механизм игнорирования любого конкретного (эмпирического) содержания, благодаря которому можно отвлечься от качественной определенности действительности, фиксируя внимание на количественных (формальных) ее аспектах. Самое удивительное, что он предсказывает и то, как реализовать данный “проект”, не дискредитируя логику и имеющуюся в ней определенность. Для этого надо просто брать отрицательные сущности, – тогда различие содержаний не будет иметь значения. Действительно, в рамках построенной нами беспредикатной языковой конструкции L3 роль предиката ложности с успехом выполняет обычное отрицание. “Навешивание” отрицания на трехзначную переменную P: “отсекает” третье значение “Н” и превращает ~P: в обычное двузначное высказывание ~P. Таким образом, отрицательные сущности типа “~P:” полностью подчиняются стандартам логической определенности L2 и ими можно оперировать по законам классической логики высказываний. А вот неотрицательные сущности “P:” не допускают ничего подобного.

Подтверждением этому становится формальная теория отрицательных сущностей Sо, построенная в рамках ЕЯ и являющаяся подсистемой классического секвенционального исчисления высказываний LК.

IV. Система Sо представляет собой разновидность секвенционального натурального исчисления с основными секвенциями (аксиомами) ~y®~y, где y – любая формула L2, и 12 логическими фигурами заключения:

В качестве структурных правил допускаются только сечение, перестановки и сокращения. Определение выводимости стандартное. Понятие доказательства употребляется только по отношению к формулам. Формула j доказуема в Sо, если существует Sо – вывод секвенции ®j Секвенция Г®D (Г,D – непустые списки) помимо обычной истинностной имеет квазиарифметическую, содержательную интерпретацию. Ее смысл таков: при любых означиваниях переменных либо хотя бы одна из формул Г принимает значение 0, либо по крайней мере одна из формул D принимает значение I. Квазиарифметическая интерпретация секвенций обусловливает прочтение секвенциональных фигур как записи содержательного следования нижних квазиформул из верхних: представляет заключение “Если A×B=1, то A=1 и B=1”, то есть представляет представляет представляет и т.д. Список формул выполняет роль контекста для соответствующих равенств.

Sо обладает свойством формальной непротиворечивости (невыводимость®) относительно “классики” и семантической корректности (доказуемость только 1-формул), поскольку фигуры заключений транслируют свойство “быть равным 1” для формульных преобразований справа и свойство “быть равным 0” для преобразований слева, а основная секвенция заведомо не содержит трехзначных переменных. Одновременно Sо не эквивалентна ни одному известному исчислению.

Подведем кратко основные итоги.

1. “Лжец” ставит нас перед необходимостью оценивать в терминах истинности сам акт оценивания, т.е. некоторое эмпирическое событие, которое относится к “истинам факта”.

2. Существующая логика никогда не занималась проблемой верификации фактуальных истин. Вообще выяснение значений атомарных высказываний считается осуществимым за рамками логики, – последняя рассматривает лишь принципы и закономерности истинностной комбинаторики.

3. Чтобы привить логике способность “откликаться” на фактуальную информацию (хотя бы на некоторые ее виды), нужно научиться учитывать форму выражения мысли, а не только саму мысль (ее гносеологическое содержание). По-видимому, “факты выражения” – это наиболее удобный и близкий логике тип фактуальной информации.

4. Рациональное прочтение “лжеца” базируется на предположении, что в некоторых ситуациях механизм оценивания истинности и механизм описания фактов выражения мыслительного содержания могут совпадать. Структура “лжеца” (р=Л(Р:)) подсказывает условия, которые позволяют “нейтрализовать” присутствие фактуального содержания и совместить оба упомянутых механизма в рамках единой комбинаторики. (Sо)

5. С гносеологической точки зрения подобное совмещение вполне объяснимо. Закономерности, присущие формам мыслительного отражения действительности, можно рассматривать как специфический случай закономерностей, присущих самой действительности (ее фрагментам). Описание последних в общем случае требует языка количественной определенности. Поэтому механизм истинностной комбинаторики можно считать разновидностью механизма количественной комбинаторики.

Примечания

1. См.: Черепанов С.К. Обоснование математики: новый взгляд на проблему // Философия науки. – 1997. – №1 (3).

2. См.: Никитин Е.П. Открытие и обоснование. – М.,1988. – С.160.

3. Изложенный в работе А.К.Сухотина замысел обоснования математики как демонстрация возможности существования объектов математических теорий (прежде всего, натуральных чисел) так или иначе предполагает решение обозначенных нами проблем (см.: Сухотин А.К. Философия в математическом познании. – Томск, 1997).

4. См.: Сухотин А.К. Философия в математическом познании. – С.25–27.

5. См.: Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // Закономерности развития современной математики. – М.,1987. – С.111–113; Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. – М., 1986. – С.31.

6. См.: Пуанкаре А. Наука и метод // Пуанкаре А. О науке. – М., 1983. – С.375–381.

7. См.: Карри Х. Основания математической логики. – М., 1969. – С.33.

8. Комаров В.Н. По следам бесконечности. – М., 1974. – С.31.

9. См.: Целищев В.В. Конвенция // Проблемы логики и методологии науки. – Новосибирск, 1982. – С.7–41.

10. См.: Черепанов С.К. Обоснование математики…

11. Различие между фактуальным суждением Р и его подтверждением (Р...Р) не укладывается в “прокрустово ложе” тех определенностей, с которыми имеет дело логика. Практически во всех логических системах присутствует принцип “сокращение повторений”, нивелирующий различие между Р и РР. Существенность данного различия, несводимого к различию И и Л, доказывает парадокс “лжеца”, показывающий, насколько проблематичным может оказаться акт оценивания сам по себе. Избегая неразрешимости, лучше научиться различать Р и РР (договориться о несократимости).

12. См.: Белякин Н.В. Нестандартно-конечные множества // Методологические проблемы математики. – Новосибирск, 1974. – С.49–54.

13. См.: Visser А. Semantics and Liar Рaradox // Handbook of Philos. Logic. – 1986. – V.4. – Р.570–620.

14. См.: Ивин А.А. Строгий мир логики. – М., 1988. – С.116–118.

15. См.: Яновская С.А. Содержательная истинность и формально-логическая доказуемость в математике // Практика и познание. – М., 1973. – С.247–272.

16. См.: Тондл Л. Проблемы семантики. – М., 1975. – С.394.

17. См.: Черепанов С.К. Логика и некоторые проблемы антропосоциогенеза // Современная логика: проблемы теории, истории и применение в науке. – СПб., 1998. – С.396–399.

18. Ранее мы уже констатировали возможность отождествления в некоторых ситуациях информативности и осмысленности. Теперь сюда можно добавить и истинность. Логика изначально рассматривает осмысленность сквозь призму истинности (истины). Как заметил однажды Витгенштейн, осмысленно то, что соответствует реальности. Осмысление не может состояться без оценивания, поэтому, оценивая, мы так или иначе формируем некоторое содержание. “Лжец” заостряет внимание на этом моменте, заставляя акт оценивания служить фактором конституирования содержания. Конкретно это оборачивается тем, что оценку “ложно” мы одновременно рассматриваем как предикат ложности. Только благодаря такому “различению тождественного” фраза лжеца становится осмысленной. Вне подобного использования оценки “ложно” она просто не имела бы смысла, т.е. не заключала бы в себе определенную мысль.

19. См.: Откупщиков Ю.В. К истокам слова. – М., 1986. – С.11.